Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042143

В знаменателях одновременно стоят $x$ и $\sqrt{x-5}$. Сделаем замену, после которой и $x$, и корень выразятся через одну букву, — получится рациональное неравенство.

Область допустимых значений: $x-5\geq 0$, то есть $x\geq 5$.

Пусть $t=\sqrt{x-5}$, $t\geq 0$. Тогда $x=t^2+5$.

Первый знаменатель:

$$x-12\sqrt{x-5}+27=t^2+5-12t+27=t^2-12t+32=(t-4)(t-8),$$

так как корни трёхчлена $t^2-12t+32$ равны $4$ и $8$ ($4+8=12$, $4\cdot 8=32$).

Второй знаменатель:

$$x-10\sqrt{x-5}+19=t^2+5-10t+19=t^2-10t+24=(t-4)(t-6),$$

корни $4$ и $6$ ($4+6=10$, $4\cdot 6=24$).

Неравенство принимает вид

$$\dfrac{2}{(t-4)(t-8)}\geq\dfrac{1}{(t-4)(t-6)}.$$

Умножать «крест-накрест» нельзя: знаки знаменателей зависят от $t$. Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю $(t-4)(t-6)(t-8)$:

$$\dfrac{2(t-6)-(t-8)}{(t-4)(t-6)(t-8)}\geq 0.$$

Числитель: $2t-12-t+8=t-4$. Получаем

$$\dfrac{t-4}{(t-4)(t-6)(t-8)}\geq 0.$$

Точка $t=4$ запрещена: в ней обращаются в ноль исходные знаменатели. При $t\neq 4$ дробь сокращается на $t-4$:

$$\dfrac{1}{(t-6)(t-8)}\geq 0.$$

Дробь с числителем $1$ в ноль не обращается, поэтому нужно, чтобы знаменатель был положителен: $(t-6)(t-8)\gt 0$. Произведение двух множителей положительно, когда они одного знака: $t\lt 6$ или $t\gt 8$.

С учётом $t\geq 0$ и $t\neq 4$:

$$0\leq t\lt 4,\qquad 4\lt t\lt 6,\qquad t\gt 8.$$

Возвращаемся к $x=t^2+5$; на луче $t\geq 0$ эта функция возрастает, знаки сохраняются. Граничные точки:

$t=0\Rightarrow x=5$; $t=4\Rightarrow x=16+5=21$; $t=6\Rightarrow x=36+5=41$; $t=8\Rightarrow x=64+5=69$.

Получаем $5\leq x\lt 21$, $21\lt x\lt 41$ или $x\gt 69$.

Проверим себя. При $x=30$ корень $\sqrt{25}=5$: левая часть $\dfrac{2}{30-60+27}=-\dfrac23$, правая $\dfrac{1}{30-50+19}=-1$, и $-\dfrac23\geq -1$ — верно, $30$ в ответе есть. При $x=21$ оба знаменателя равны $21-48+27=0$ и $21-40+19=0$ — точка выпадает. При $x=5$ ($t=0$) знаменатели равны $32$ и $24$, левая часть $\dfrac{1}{16}$ больше правой $\dfrac{1}{24}$ — левый край области входит.