Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042162

Чтобы возводить в квадрат было законно, обе части должны быть неотрицательными. Поэтому перенесём вычитаемый корень вправо, а затем будем аккуратно следить за знаками.

Область допустимых значений: $x+2\geq 0$, $2x-1\geq 0$ (то есть $x\geq\dfrac12$), $x-2\geq 0$. Вместе: $x\geq 2$.

Переносим $\sqrt{2x-1}$ вправо:

$$\sqrt{x+2}\gt\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-2}.$$

Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$$x+2\gt(2x-1)+(x-2)+2\sqrt{(2x-1)(x-2)}\ \Longleftrightarrow\ 5-2x\gt 2\sqrt{(2x-1)(x-2)}.$$

Правая часть неотрицательна, неравенство строгое, значит левая часть обязана быть положительной: $5-2x\gt 0$, $x\lt\dfrac52$.

При этом условии снова возводим в квадрат:

$$25-20x+4x^2\gt 4(2x^2-5x+2)=8x^2-20x+8.$$

Слагаемые $-20x$ стоят в обеих частях, после переноса остаётся

$$17\gt 4x^2\ \Longleftrightarrow\ x^2\lt\dfrac{17}{4}\ \Longleftrightarrow\ -\dfrac{\sqrt{17}}{2}\lt x\lt\dfrac{\sqrt{17}}{2}.$$

Сравним $\dfrac{\sqrt{17}}{2}$ с границами $2$ и $\dfrac52$, возводя положительные числа в квадрат: $\dfrac{17}{4}=4{,}25$, а $2^2=4$ и $\left(\dfrac52\right)^2=6{,}25$. Так как $4\lt 4{,}25\lt 6{,}25$, получаем $2\lt\dfrac{\sqrt{17}}{2}\lt\dfrac52$.

Пересекаем все условия: $x\geq 2$, $x\lt\dfrac52$, $x\lt\dfrac{\sqrt{17}}{2}$. Итог: $2\leq x\lt\dfrac{\sqrt{17}}{2}$.

Проверим себя. При $x=2$: $2-\sqrt3\approx 0{,}27\gt 0$ — верно. При $x=2{,}05$: $\sqrt{4{,}05}-\sqrt{3{,}1}\approx 2{,}012-1{,}761=0{,}251$, а $\sqrt{0{,}05}\approx 0{,}224$ — верно, и $2{,}05\lt\dfrac{\sqrt{17}}{2}\approx 2{,}062$. При $x=2{,}1$: $\sqrt{4{,}1}-\sqrt{3{,}2}\approx 0{,}236$, а $\sqrt{0{,}1}\approx 0{,}316$ — неверно.