Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043741

Слева дробь с корнем в знаменателе, справа простая дробь. Чтобы сравнивать, надо понимать знаки обеих частей, а знак левой части зависит от знака $x$. Поэтому сначала упростим корень.

ОДЗ. Корень стоит в знаменателе, значит, подкоренное выражение строго положительно: $x^4-9x^2=x^2(x^2-9)\gt0$. Это значит $x\neq0$ и $x^2\gt9$, то есть $x\lt-3$ или $x\gt3$. Условие $x\neq-2$ выполняется само.

Упрощаем корень. $\sqrt{x^2(x^2-9)}=\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x^2-9}=|x|\sqrt{x^2-9}$. Тогда

$$\dfrac{x}{\sqrt{x^4-9x^2}}=\dfrac{x}{|x|\sqrt{x^2-9}}.$$

Случай $x\gt3$. $|x|=x$, левая часть равна $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-9}}$. Обе части положительны. Для положительных чисел $\dfrac1A\ge\dfrac1B$ равносильно $A\le B$:

$$\sqrt{x^2-9}\le x+2.$$

Обе части положительны, возводим в квадрат: $x^2-9\le x^2+4x+4$, то есть $4x\ge-13$, $x\ge-3{,}25$. Это верно для всех $x\gt3$.

Случай $x\lt-3$. $|x|=-x$, левая часть равна $-\dfrac{1}{\sqrt{x^2-9}}$ — отрицательна. Правая часть $\dfrac{1}{x+2}$ тоже отрицательна, ведь $x+2\lt-1$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Поэтому неравенство равносильно

$$\dfrac{1}{\sqrt{x^2-9}}\le\dfrac{1}{|x+2|}\ \Longleftrightarrow\ |x+2|\le\sqrt{x^2-9}.$$

Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: $x^2+4x+4\le x^2-9$, $4x\le-13$, $x\le-3{,}25$.

Вместе с $x\lt-3$ получаем $x\le-3{,}25$.

Объединяем случаи: $(-\infty;-3{,}25]\cup(3;+\infty)$.

Проверим себя на $x=-3{,}25$: $x^2=10{,}5625$, $x^2-9=1{,}5625=1{,}25^2$; левая часть $\dfrac{-3{,}25}{3{,}25\cdot1{,}25}=-0{,}8$, правая $\dfrac{1}{-1{,}25}=-0{,}8$ — равенство, точка входит. На $x=-3{,}1$: левая $-\dfrac{1}{\sqrt{0{,}61}}\approx-1{,}28$, правая $\dfrac{1}{-1{,}1}\approx-0{,}91$ — неравенство неверно.