Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042161

В неравенстве три корня. Возводить в квадрат можно только неравенство между неотрицательными частями, поэтому сначала перенесём вычитаемый корень вправо.

Область допустимых значений: $x+4\geq 0$, $x-1\geq 0$, $x-2\geq 0$. Самое сильное условие — $x\geq 2$.

Переносим $\sqrt{x-1}$ вправо:

$$\sqrt{x+4}\gt\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}.$$

Обе части неотрицательны, поэтому неравенство равносильно неравенству между их квадратами:

$$x+4\gt(x-1)+(x-2)+2\sqrt{(x-1)(x-2)}.$$

Приводим подобные и уединяем корень:

$$7-x\gt 2\sqrt{(x-1)(x-2)}.$$

Справа неотрицательное число, а неравенство строгое, поэтому левая часть обязана быть положительной: $7-x\gt 0$, $x\lt 7$. При этом условии обе части неотрицательны, и снова можно возвести в квадрат:

$$(7-x)^2\gt 4(x-1)(x-2)\ \Longleftrightarrow\ 49-14x+x^2\gt 4x^2-12x+8.$$

Переносим всё вправо:

$$3x^2+2x-41\lt 0.$$

Корни трёхчлена: $D=2^2+4\cdot 3\cdot 41=4+492=496$, $\sqrt{496}=\sqrt{16\cdot 31}=4\sqrt{31}$,

$$x=\dfrac{-2\pm 4\sqrt{31}}{6}=\dfrac{-1\pm 2\sqrt{31}}{3}.$$

Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен отрицателен между корнями: $\dfrac{-1-2\sqrt{31}}{3}\lt x\lt\dfrac{2\sqrt{31}-1}{3}$.

Сравним больший корень с границами $2$ и $7$. Так как $5\lt\sqrt{31}\lt 6$, имеем $\dfrac{2\cdot 5-1}{3}=3\lt\dfrac{2\sqrt{31}-1}{3}\lt\dfrac{2\cdot 6-1}{3}=\dfrac{11}{3}$ — корень лежит между $2$ и $7$. Меньший корень отрицателен.

Собираем условия $x\geq 2$, $x\lt 7$ и решение квадратного неравенства: $2\leq x\lt\dfrac{2\sqrt{31}-1}{3}$.

Проверим себя. При $x=2$: $\sqrt6-1\approx 1{,}45\gt 0$ — верно, левый конец входит. При $x=3$: $\sqrt7-\sqrt2\approx 2{,}646-1{,}414=1{,}232\gt 1$ — верно. При $x=4$: $\sqrt8-\sqrt3\approx 2{,}828-1{,}732=1{,}096$, а $\sqrt2\approx 1{,}414$ — неверно, и $4\gt\dfrac{2\sqrt{31}-1}{3}\approx 3{,}38$.