Неравенства,… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043742

Как и в любом неравенстве с корнем в знаменателе, начнём с того, где выражение определено, и с упрощения корня.

ОДЗ. Подкоренное выражение строго положительно: $4x^2-x^4=x^2(4-x^2)\gt0$. Это $x\neq0$ и $x^2\lt4$, то есть $-2\lt x\lt0$ или $0\lt x\lt2$. На этой области $x+3\gt1\gt0$, поэтому правая часть $\dfrac{1}{x+3}$ всегда положительна.

Корень. $\sqrt{x^2(4-x^2)}=|x|\sqrt{4-x^2}$.

Случай $-2\lt x\lt0$. Числитель левой части $x\lt0$, знаменатель положителен — левая часть отрицательна. Отрицательное число всегда меньше положительного, поэтому неравенство выполнено при всех таких $x$.

Случай $0\lt x\lt2$. $|x|=x$, левая часть равна $\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}$. Обе части положительны, $\dfrac1A\le\dfrac1B\Leftrightarrow A\ge B$:

$$\sqrt{4-x^2}\ge x+3.$$

Обе части положительны, возводим в квадрат:

$$4-x^2\ge x^2+6x+9\ \Longleftrightarrow\ 2x^2+6x+5\le0.$$

Дискриминант $36-40=-4\lt0$, старший коэффициент положителен — трёхчлен всегда положителен. Решений нет.

Это видно и без алгебры: при $0\lt x\lt2$ корень $\sqrt{4-x^2}\lt2$, а $x+3\gt3$ — корень заведомо меньше.

Остаётся промежуток $(-2;0)$.

Проверим себя на $x=-1$: левая часть $\dfrac{-1}{\sqrt{4-1}}=-\dfrac{1}{\sqrt3}\lt0$, правая $\dfrac12$ — неравенство верно. На $x=1$: левая $\dfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}58$, правая $\dfrac14$ — неверно.