Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043750

Оба логарифма — от степеней выражения $x+5$, основания $0{,}2$ и $25$ — степени пятёрки. Сведём всё к $t=\log_5|x+5|$.

ОДЗ. $x\neq-5$.

Первое слагаемое. $(x+5)^4=|x+5|^4$, $0{,}2=5^{-1}$:

$$\log_{0{,}2}(x+5)^4=-4\log_5|x+5|=-4t,\qquad \log^2_{0{,}2}(x+5)^4=16t^2.$$

Квадрат делает знак основания неважным: $(-4t)^2=16t^2$.

Второе слагаемое. $25=5^2$, $(x+5)^{12}=|x+5|^{12}$:

$$\log_{25}(x+5)^{12}=\dfrac{12}{2}t=6t,\qquad 4\cdot6t=24t.$$

Здесь знак сохраняется — это не квадрат.

Неравенство:

$$16t^2-24t\ge40\ \Longleftrightarrow\ 2t^2-3t-5\ge0.$$

$D=9+40=49$, корни $t=\dfrac{3\pm7}{4}$: $t=2{,}5$ и $t=-1$. Знак «$\ge$», ветви вверх — подходят $t$ снаружи: $t\le-1$ или $t\ge2{,}5$.

Обратно к $x$.

$t\le-1$: $|x+5|\le5^{-1}=0{,}2$, и $|x+5|\gt0$. Это $-5{,}2\le x\le-4{,}8$ без точки $-5$.

$t\ge2{,}5$: $|x+5|\ge5^{2{,}5}=25\sqrt5$. Это $x\le-5-25\sqrt5$ или $x\ge25\sqrt5-5$.

Получаем $(-\infty;-5-25\sqrt5]\cup[-5{,}2;-5)\cup(-5;-4{,}8]\cup[25\sqrt5-5;+\infty)$.

Проверим себя на $x=-4{,}8$: $x+5=0{,}2$, $\log_{0{,}2}0{,}2^4=4$, квадрат $16$; $\log_{25}0{,}2^{12}=12\cdot\left(-\dfrac12\right)=-6$, и $16-4\cdot(-6)=40\ge40$ — равенство, край входит. На $x=0$: $t=1$, $16-24=-8\lt40$ — не подходит.