Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042153

Логарифмы по одному основанию $5$. Найдём область определения, соберём логарифмы и сравним аргументы.

Область допустимых значений:

$(x-3)(x^2+25)\gt 0$; так как $x^2+25\gt 0$ всегда, получаем $x\gt 3$;

$x^2+2x-15\gt 0$. Корни трёхчлена $3$ и $-5$ (сумма $-2$, произведение $-15$), поэтому $x^2+2x-15=(x-3)(x+5)$, и он положителен при $x\lt -5$ или $x\gt 3$;

$x\gt 0$.

Общая область: $x\gt 3$.

Число $2$ запишем как $\log_5 25$, а $\log_5 x$ перенесём влево:

$$\log_5\bigl((x-3)(x^2+25)\bigr)+\log_5 x\leq\log_5 25+\log_5\bigl((x-3)(x+5)\bigr).$$

Сумма логарифмов положительных чисел равна логарифму произведения:

$$\log_5\bigl(x(x-3)(x^2+25)\bigr)\leq\log_5\bigl(25(x-3)(x+5)\bigr).$$

Основание $5$ больше единицы, логарифм возрастает, поэтому переходим к аргументам с тем же знаком:

$$x(x-3)(x^2+25)\leq 25(x-3)(x+5).$$

При $x\gt 3$ множитель $x-3$ положителен, делим на него:

$$x^3+25x\leq 25x+125\ \Longleftrightarrow\ x^3\leq 125.$$

Так как $y=x^3$ — возрастающая функция и $5^3=125$, получаем $x\leq 5$.

Вместе с областью определения: $3\lt x\leq 5$.

Проверим себя. При $x=5$: слева $\log_5(2\cdot 50)=\log_5 100$, справа $2+\log_5 20-\log_5 5=1+\log_5 20=\log_5 100$ — равенство. При $x=4$: слева $\log_5 41$, справа $2+\log_5 9-\log_5 4=\log_5\dfrac{225}{4}=\log_5 56{,}25$ — неравенство верно. При $x=6$: слева $\log_5 183$, справа $\log_5\dfrac{25\cdot 33}{6}=\log_5 137{,}5$ — неверно.