Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043728

Здесь тоже два логарифма с основаниями $4$ и $0{,}5$ — оба являются степенями двойки. Сведём всё к основанию $2$ и соберём в один логарифм.

ОДЗ. Нужно $x^2-4\gt 0$ и $\dfrac{x-2}{x+2}\gt 0$. Первое: $x\lt-2$ или $x\gt 2$. Второе: числитель и знаменатель одного знака — тоже $x\lt-2$ или $x\gt 2$. ОДЗ: $x\lt-2$ или $x\gt2$.

Основание 2. $2\log_4(x^2-4)=2\cdot\dfrac12\log_2(x^2-4)=\log_2(x^2-4)$.

Во втором слагаемом два минуса подряд: знак «минус» перед логарифмом и основание $0{,}5=2^{-1}$, которое само даёт минус: $\log_{0{,}5}y=-\log_2 y$. Поэтому

$$-\log_{0{,}5}\dfrac{x-2}{x+2}=\log_2\dfrac{x-2}{x+2}.$$

Неравенство становится суммой логарифмов, а сумма — это логарифм произведения:

$$\log_2\left((x-2)(x+2)\cdot\dfrac{x-2}{x+2}\right)\ge-3\ \Longleftrightarrow\ \log_2(x-2)^2\ge-3.$$

Множитель $x+2$ сократился — на ОДЗ он не равен нулю.

Правая часть: $-3=\log_2 2^{-3}=\log_2\dfrac18$. Основание больше единицы, знак сохраняется:

$$(x-2)^2\ge\dfrac18\ \Longleftrightarrow\ |x-2|\ge\dfrac{1}{\sqrt8}=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}.$$

Разбираем две части ОДЗ.

При $x\gt 2$: $x-2\gt0$, модуль раскрывается без смены знака: $x-2\ge\dfrac{\sqrt2}{4}$, то есть $x\ge 2+\dfrac{\sqrt2}{4}$.

При $x\lt-2$: $|x-2|=2-x\gt 4$, а $\dfrac{\sqrt2}{4}\lt 1$. Неравенство выполняется для всех таких $x$.

Получаем $x\lt-2$ или $x\ge 2+\dfrac{\sqrt2}{4}$.

Проверим себя на $x=-3$. $x^2-4=5$, $2\log_4 5=\log_2 5$; $\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{-5}{-1}=5$, $-\log_{0{,}5}5=\log_2 5$. Сумма $2\log_2 5\approx 4{,}64\ge-3$ — верно. А при $x=2{,}1$: $(x-2)^2=0{,}01\lt\dfrac18$ — не подходит, и действительно $2{,}1\lt 2+\dfrac{\sqrt2}{4}\approx2{,}35$.