Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043727

В неравенстве два логарифма с разными основаниями: $0{,}5$ и $4$. Оба основания — степени двойки, поэтому всё удобно свести к логарифмам по основанию $2$ и собрать в один логарифм.

Область допустимых значений. Нужно $\dfrac{x-3}{x+3}\gt 0$ и $x^2-9\gt 0$.

Первое: дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака, то есть $x\lt-3$ или $x\gt 3$. Второе: $x^2\gt 9$, то есть тоже $x\lt-3$ или $x\gt 3$. Условия совпадают: ОДЗ — $x\lt-3$ или $x\gt3$.

Переходим к основанию 2. Так как $0{,}5=2^{-1}$, то $\log_{0{,}5}y=-\log_2 y$. Так как $4=2^2$, то $\log_4 y=\dfrac12\log_2 y$, и $2\log_4(x^2-9)=\log_2(x^2-9)$.

Неравенство принимает вид

$$\log_2(x^2-9)-\log_2\dfrac{x-3}{x+3}\ge 5.$$

Разность логарифмов с одинаковым основанием — логарифм частного. Разложим $x^2-9=(x-3)(x+3)$ и поделим:

$$\dfrac{(x-3)(x+3)}{\dfrac{x-3}{x+3}}=(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{x+3}{x-3}=(x+3)^2.$$

На ОДЗ $x\neq 3$, так что сокращать на $x-3$ можно. Получаем

$$\log_2(x+3)^2\ge 5.$$

Число $5$ — это $\log_2 32$, потому что $2^5=32$. Основание $2$ больше единицы, логарифм возрастает, поэтому

$$(x+3)^2\ge 32.$$

Квадрат не меньше $32$, когда само число по модулю не меньше $\sqrt{32}=4\sqrt2$:

$$x+3\ge 4\sqrt2\quad\text{или}\quad x+3\le-4\sqrt2.$$

То есть $x\ge 4\sqrt2-3$ или $x\le-3-4\sqrt2$.

Пересекаем с ОДЗ. Правая ветка: $4\sqrt2\approx 5{,}66$, поэтому $4\sqrt2-3\approx2{,}66$, это меньше $3$. Значит, все $x\gt 3$ из ОДЗ подходят.

Левая ветка: $-3-4\sqrt2\approx-8{,}66\lt-3$, поэтому промежуток $x\le-3-4\sqrt2$ целиком лежит в ОДЗ.

Получаем $x\le-3-4\sqrt2$ или $x\gt3$.

Проверим себя на $x=4$. Тогда $\dfrac{x-3}{x+3}=\dfrac17$ и $\log_{0{,}5}\dfrac17=\log_2 7$; $2\log_4 7=\log_2 7$. Сумма $2\log_2 7=\log_2 49\ge\log_2 32$ — верно. А при $x=-5$ (между $-8{,}66$ и $-3$): $(x+3)^2=4\lt 32$ — не подходит, как и должно быть.