Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022341

Знаменатель линейный, а числитель сворачивается через замену. Смотрим степени: $3^{3x}=(3^x)^3$, $9^x=(3^x)^2$, $3^{x+2}=9\cdot 3^x$. Пусть $u=3^x>0$: числитель равен $u^3-15u^2+63u-81$.

Корень подбором — $u=3$ (проверка: $27-135+189-81=0$), делим: $u^3-15u^2+63u-81=(u-3)(u^2-12u+27)=(u-3)^2(u-9)$. В переменной $x$ числитель равен $(3^x-3)^2(3^x-9)$.

Неравенство: $\dfrac{(3^x-3)^2(3^x-9)}{x-1}\le 0$. ОДЗ: $x\ne 1$. Квадрат $(3^x-3)^2$ обнуляется только при $x=1$ (выколот), а в остальном положителен — на знак не влияет.

Остаётся $\dfrac{3^x-9}{x-1}\le 0$. Рационализируем: $3^x-9$ по знаку совпадает с $x-2$ (ведь $3^x=9$ при $x=2$). Получаем $\dfrac{x-2}{x-1}\le 0$.

Метод интервалов: точки $1$ (выколота) и $2$ (закрашена). Знаки: $+,-,+$. Неположительно на $1</p><p>Ответ:$(1; 2]$. Проверим:$x=2$даёт числитель$3^2-9=0$— дробь ноль, входит;$x=1$выколота. Контрольная$x=1{,}5$: числитель$(3^{1{,}5}-3)^2(3^{1{,}5}-9)<0$(первый множитель положителен, второй отрицателен), знаменатель$0{,}5>0$, дробь отрицательна — верно. Всё сходится.