Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022319

Смотрим на ОДЗ: нужно $x+3>0$, $x^2+6x+9=(x+3)^2>0$ и $x+2>0$. Самое жёсткое условие — последнее: $x>-2$. Тогда $x+3>1$, и остальные условия выполняются автоматически.

Наводим порядок в первой скобке. Основание $0{,}25=4^{-1}$, поэтому $\log_{0{,}25}(x+3)=-\log_4(x+3)$, а после возведения в квадрат минус исчезает: $\log_{0{,}25}^2(x+3)=\log_4^2(x+3)$. Дальше: $\log_4\left(x^2+6x+9\right)=\log_4(x+3)^2=2\log_4(x+3)$ — модуль не нужен, ведь на ОДЗ $x+3>0$.

Обозначим $t=\log_4(x+3)$. Первая скобка: $t^2-2t+1=(t-1)^2$ — полный квадрат! Неравенство превращается в $(t-1)^2\cdot\log_4(x+2)\le 0$.

Квадрат всегда неотрицателен, поэтому произведение неположительно ровно в двух случаях. Случай 1: $(t-1)^2=0$, то есть $\log_4(x+3)=1$, откуда $x+3=4$ и $x=1$ — произведение равно нулю, годится. Случай 2: $\log_4(x+2)\le 0$, то есть $0</p><p>Собираем ответ:$(-2; -1]\cup\{1\}$.</p><p>Проверим изолированную точку$x=1$:$\log_{0{,}25}^2 4-\log_4 16+1=(-1)^2-2+1=0$, произведение — ноль, подходит. При$x=-1$:$\log_4(x+2)=\log_4 1=0$— произведение снова ноль, точка входит. А при$x$чуть больше$-2$ скобка-квадрат положительна, логарифм отрицателен — произведение отрицательно, неравенство выполнено. Всё сходится.