Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022340

Внизу линейный знаменатель, а наверху показательное выражение, которое стоит свернуть. Заметим степени: $2^{3x}=(2^x)^3$, $4^{x+1}=4\cdot(2^x)^2$, $2^{x+2}=4\cdot 2^x$. Обозначим $u=2^x>0$: числитель превращается в $u^3-8u^2+20u-16$.

Подбором находим корень $u=2$ (тогда $8-32+40-16=0$) и делим: $u^3-8u^2+20u-16=(u-2)(u^2-6u+8)=(u-2)^2(u-4)$. Возвращаясь к $x$, числитель равен $(2^x-2)^2(2^x-4)$.

Неравенство: $\dfrac{(2^x-2)^2(2^x-4)}{x-1}\ge 0$. ОДЗ: $x\ne 1$. Множитель $(2^x-2)^2$ — полный квадрат, он неотрицателен, а в ноль обращается лишь при $x=1$, который и так выколот. Значит, на ОДЗ он строго положителен и на знак дроби не влияет.

Остаётся $\dfrac{2^x-4}{x-1}\ge 0$. Рационализируем: $2^x-4$ по знаку совпадает с $x-2$ (ведь $2^x=4$ при $x=2$). Получаем $\dfrac{x-2}{x-1}\ge 0$.

Метод интервалов: точки $1$ (выколота) и $2$ (закрашена). Знаки: $+,-,+$. Неотрицательно на $x<1$ и $x\ge 2$.

Ответ: $(-\infty; 1)\cup[2; +\infty)$. Проверим: $x=2$ даёт в числителе $2^2-4=0$ — дробь ноль, входит; $x=1$ выколота. Контрольная точка $x=0$: $\dfrac{(1-2)^2(1-4)}{0-1}=\dfrac{-3}{-1}=3\ge 0$ — верно. Всё сходится.