Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042152

Здесь несколько логарифмов по одному основанию. План такой: найти область определения, собрать в каждой части один логарифм и перейти к сравнению аргументов.

Область допустимых значений — все аргументы положительны:

$(x-1)(x^2+2)\gt 0$. Множитель $x^2+2$ положителен всегда, поэтому $x-1\gt 0$, $x\gt 1$;

$x^2+3x-4\gt 0$. Корни трёхчлена $1$ и $-4$, так что $x^2+3x-4=(x-1)(x+4)\gt 0$ при $x\lt -4$ или $x\gt 1$;

$x\gt 0$.

Пересечение всех условий: $x\gt 1$.

Переносим $\log_2 x$ влево, а единицу записываем как $\log_2 2$:

$$\log_2\bigl((x-1)(x^2+2)\bigr)+\log_2 x\leq\log_2 2+\log_2\bigl((x-1)(x+4)\bigr).$$

На области определения все аргументы положительны, и сумму логарифмов можно заменить логарифмом произведения:

$$\log_2\bigl(x(x-1)(x^2+2)\bigr)\leq\log_2\bigl(2(x-1)(x+4)\bigr).$$

Основание $2$ больше единицы, функция $\log_2$ возрастает, поэтому знак сохраняется при переходе к аргументам:

$$x(x-1)(x^2+2)\leq 2(x-1)(x+4).$$

На области определения $x-1\gt 0$, делим на этот множитель без смены знака:

$$x(x^2+2)\leq 2(x+4)\ \Longleftrightarrow\ x^3+2x\leq 2x+8\ \Longleftrightarrow\ x^3\leq 8.$$

Функция $y=x^3$ возрастает, поэтому $x\leq 2$.

С учётом области определения $x\gt 1$ получаем $1\lt x\leq 2$.

Проверим себя. При $x=2$: слева $\log_2(1\cdot 6)=\log_2 6$, справа $1+\log_2 6-\log_2 2=\log_2 6$ — равенство, точка входит. При $x=3$: слева $\log_2 22\approx 4{,}46$, справа $1+\log_2 14-\log_2 3\approx 1+3{,}81-1{,}58=3{,}23$ — неверно. При $x=1$ аргумент $(x-1)(x^2+2)$ равен нулю — логарифм не определён.