Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043749

Под обоими логарифмами стоят степени одного и того же выражения $4-x$, а основания $8$ и $0{,}5$ — степени двойки. Значит, всё сводится к одной букве $t=\log_2|4-x|$ и квадратному неравенству.

ОДЗ. $(4-x)^4\gt0$ и $(4-x)^8\gt0$, то есть $x\neq4$.

Первое слагаемое. Чётная степень: $(4-x)^4=|4-x|^4$. $8=2^3$, поэтому

$$\log_8(4-x)^4=\dfrac{4\log_2|4-x|}{3}=\dfrac43t,\qquad \log_8^2(4-x)^4=\dfrac{16}{9}t^2.$$

Умножаем на $9$: $9\cdot\dfrac{16}{9}t^2=16t^2$.

Второе слагаемое. $0{,}5=2^{-1}$, поэтому $\log_{0{,}5}(4-x)^8=-8\log_2|4-x|=-8t$, и $5\cdot(-8t)=-40t$.

Неравенство:

$$16t^2-40t\le56\ \Longleftrightarrow\ 2t^2-5t-7\le0.$$

$D=25+56=81$, корни $t=\dfrac{5\pm9}{4}$: $t=3{,}5$ и $t=-1$. Ветви вверх, поэтому $-1\le t\le3{,}5$.

Обратно к $x$. $\log_2|4-x|$ возрастает по $|4-x|$:

$$2^{-1}\le|4-x|\le2^{3{,}5}\ \Longleftrightarrow\ \dfrac12\le|x-4|\le8\sqrt2,$$

так как $2^{3{,}5}=2^3\cdot2^{0{,}5}=8\sqrt2$.

Расстояние от $x$ до $4$ не меньше $\dfrac12$ и не больше $8\sqrt2$: это два отрезка по разные стороны от $4$.

$x-4\in\left[\dfrac12;8\sqrt2\right]$ даёт $x\in[4{,}5;4+8\sqrt2]$; $x-4\in\left[-8\sqrt2;-\dfrac12\right]$ даёт $x\in[4-8\sqrt2;3{,}5]$.

Проверим себя на $x=3{,}5$: $|4-x|=0{,}5$, $t=-1$. $9\cdot\left(\dfrac43\cdot(-1)\right)^2+5\cdot8=16+40=56\le56$ — равенство, край входит. На $x=4{,}2$: $t=\log_2 0{,}2\approx-2{,}32$, $16t^2-40t\approx86+93\gt56$ — не подходит.