Задание 15 ЕГЭ по математике №00043703

Ребро $SA$ — высота пирамиды, значит, любой отрезок, параллельный $SA$, перпендикулярен основанию. Если такой отрезок найдётся в плоскости $FNK$, плоскость будет перпендикулярна основанию. Кандидат — перпендикуляр из точки $F$.

Пункт а. Пусть сторона квадрата равна $a$. Опустим из $F$ перпендикуляр $FF'$ на основание. Так как $SA\perp ABC$, то $FF'\parallel SA$, и $FF'$ лежит в плоскости $SAC$; значит, $F'$ — точка диагонали $CA$. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике $SAC$:

$$\dfrac{CF'}{CA}=\dfrac{CF}{CS}=\dfrac{2}{2+7}=\dfrac29.$$

Теперь проверим, что $F'$ лежит на прямой $KN$. Введём на основании координаты с началом в $C$ и осями по $CB$ и $CD$. Из $BK:KC=1:2$ получаем $CK=\dfrac{2a}{3}$, из $CN:ND=1:2$ — $CN=\dfrac a3$. Значит, $K\left(\dfrac{2a}{3};0\right)$, $N\left(0;\dfrac a3\right)$, а уравнение прямой $KN$ «в отрезках»:

$$\dfrac{x}{2a/3}+\dfrac{y}{a/3}=1.$$

Диагональ $CA$ — это точки $x=y$. Подставим: $x\left(\dfrac{3}{2a}+\dfrac3a\right)=1$, $x\cdot\dfrac{9}{2a}=1$, $x=\dfrac{2a}{9}$. Точка $A$ имеет $x=a$, поэтому точка пересечения $KN$ с $CA$ делит $CA$ в отношении $\dfrac29$ от $C$ — это и есть $F'$.

Итак, $F'\in KN$, отрезок $FF'$ лежит в плоскости $FNK$ и перпендикулярен плоскости $ABC$. По признаку перпендикулярности плоскостей $FNK\perp ABC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $AB=AS=6$. Возьмём у тетраэдра $AFNK$ основание $AKN$ (оно лежит в плоскости $ABC$), тогда высота — $FF'$. Её длина — доля $SA$: $FF'=\dfrac{CF}{CS}\cdot SA=\dfrac29\cdot6=\dfrac43$.

Площадь треугольника $AKN$: из квадрата площади $36$ вычтем три прямоугольных треугольника. $BK=2$, $KC=4$, $CN=2$, $ND=4$:

$$S_{ABK}=\dfrac12\cdot6\cdot2=6,\qquad S_{KCN}=\dfrac12\cdot4\cdot2=4,\qquad S_{NDA}=\dfrac12\cdot4\cdot6=12,$$

$$S_{AKN}=36-6-4-12=14.$$

$$V=\dfrac13\cdot S_{AKN}\cdot FF'=\dfrac13\cdot14\cdot\dfrac43=\dfrac{56}{9}.$$

Проверим площадь координатами: $A(0;0)$, $K(6;2)$, $N(4;6)$ (начало в $A$, оси по $AB$ и $AD$), $S=\dfrac12|6\cdot6-2\cdot4|=\dfrac12\cdot28=14$. Совпало.