Задание 15 ЕГЭ по математике №00043718

Плоскость $CDA_1$ содержит прямую $A_1B_1$: она проходит через $A_1$ и параллельна $AB$, а значит, и $CD$. Поэтому призма разрезается плоскостью $CDA_1B_1$.

Обозначим $AB=c$, $CD=b$, $AD=d$ — высота трапеции, $h$ — высота призмы. Объём призмы $V=\dfrac{(b+c)dh}{2}$.

Объём верхней части $DA_1D_1CB_1C_1$. Разрежем её плоскостью $DB_1C_1$ на пирамиду $DA_1B_1C_1D_1$ (вершина $D$, основание — верхняя трапеция) и тетраэдр $DCC_1B_1$.

Пирамида: высота $DD_1=h$, объём $\dfrac13\cdot\dfrac{(b+c)d}{2}\cdot h=\dfrac{(b+c)dh}{6}$.

Тетраэдр $DCC_1B_1$: основание — треугольник $DCC_1$ в грани $DCC_1D_1$, прямоугольный с катетами $DC=b$ и $CC_1=h$, площадь $\dfrac{bh}{2}$. Высота из $B_1$ на плоскость $DCC_1D_1$ равна расстоянию между прямыми $A_1B_1$ и $D_1C_1$ в верхнем основании, то есть $d$. Объём $\dfrac{bdh}{6}$.

Итого $V_{\text{в}}=\dfrac{(b+c)dh}{6}+\dfrac{bdh}{6}=\dfrac{(2b+c)dh}{6}$.

Нижняя часть: $V_{\text{н}}=V-V_{\text{в}}=\dfrac{3(b+c)-(2b+c)}{6}dh=\dfrac{(b+2c)dh}{6}$.

Пункт а. При $c=2b$: $V_{\text{в}}=\dfrac{4b\cdot dh}{6}$, $V_{\text{н}}=\dfrac{5b\cdot dh}{6}$, отношение $5:4$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $V_{\text{в}}=50$, $V_{\text{н}}=40$, $b=CD=3$, $d=AD=2$:

$$\dfrac{(6+c)\cdot2h}{6}=50,\qquad\dfrac{(3+2c)\cdot2h}{6}=40.$$

Отношение: $\dfrac{6+c}{3+2c}=\dfrac54$, то есть $24+4c=15+10c$, $c=1{,}5$.

Из первого: $7{,}5\cdot\dfrac{h}{3}=50$, $2{,}5h=50$, $h=20$.

Проверим себя: объём призмы $\dfrac{3+1{,}5}{2}\cdot2\cdot20=90=50+40$ — совпало.