Задание 15 ЕГЭ по математике №00042138

Пусть $O$ — центр основания, $E$ — середина $AB$, $r=OE$. В равностороннем треугольнике $ABC$ центр делит медиану $CE$ в отношении $2:1$, поэтому $OC=2r$, $CE=3r$.

Двугранный угол при ребре $AB$ — угол $MEO$: $ME\perp AB$ и $OE\perp AB$. В прямоугольном треугольнике $MOE$ катет $MO=OE\cdot\operatorname{tg}\angle MEO=3r$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. $AB\perp CE$ и $AB\perp ME$, значит, $AB$ перпендикулярна плоскости $MEC$ и любой прямой в ней, в том числе $KE$. Поэтому площадь сечения $S_{ABK}=\dfrac12AB\cdot KE$, а площадь основания $\dfrac12AB\cdot CE$.

Шаг 2. Из условия:

$$\dfrac{KE}{CE}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\quad\Longrightarrow\quad KE=\dfrac{9r}{\sqrt{13}}.$$

Шаг 3. Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $E$ на прямую $MC$. $MC=\sqrt{OC^2+MO^2}=\sqrt{4r^2+9r^2}=\sqrt{13}\,r$. Записав площадь треугольника $MEC$ двумя способами ($\dfrac12CE\cdot MO=\dfrac12MC\cdot EH$), получим

$$EH=\dfrac{CE\cdot MO}{MC}=\dfrac{3r\cdot3r}{\sqrt{13}\,r}=\dfrac{9r}{\sqrt{13}}.$$

Шаг 4. Получилось $KE=EH$. Если бы $K\ne H$, то $EK$ была бы наклонной, а наклонная длиннее перпендикуляра. Значит, $K=H$, то есть $EK\perp MC$.

Шаг 5. Прямая $MC$ перпендикулярна прямым $EK$ и $AB$, пересекающимся в плоскости $\alpha$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $MC\perp\alpha$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Апофема: $ME=\sqrt{OE^2+MO^2}=\sqrt{r^2+9r^2}=\sqrt{10}\,r$. Треугольник $MKE$ прямоугольный (угол $K$ прямой по пункту а), поэтому

$$MK^2=ME^2-KE^2=10r^2-\dfrac{81r^2}{13}=\dfrac{130r^2-81r^2}{13}=\dfrac{49r^2}{13},\qquad MK=\dfrac{7r}{\sqrt{13}}.$$

Шаг 2. Пирамиды $MABK$ и $MABC$ имеют общую грань $MAB$, а высоты из $K$ и $C$ к ней относятся как $MK:MC$:

$$\dfrac{MK}{MC}=\dfrac{7r/\sqrt{13}}{\sqrt{13}\,r}=\dfrac{7}{13},\qquad V_{MABK}=\dfrac{7}{13}\cdot52\sqrt5=28\sqrt5.$$

Проверим себя: из прямоугольного треугольника $CKE$ получаем $CK=\sqrt{9r^2-\dfrac{81r^2}{13}}=\dfrac{6r}{\sqrt{13}}$, и $MK+CK=\dfrac{13r}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}\,r=MC$. Сходится.