Задание 15 ЕГЭ по математике №00043704

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости. Ребро $SA$ перпендикулярно основанию, поэтому ему параллелен любой вертикальный отрезок. Ищем такой отрезок в плоскости $FNK$ — через точку $F$.

Пункт а. Пусть сторона квадрата $a$. Перпендикуляр $FF'$ к основанию параллелен $SA$ и лежит в плоскости $SAC$, значит, $F'$ — точка диагонали $CA$, и

$$\dfrac{CF'}{CA}=\dfrac{CF}{CS}=\dfrac{3}{3+13}=\dfrac{3}{16}.$$

Проверим, что $F'$ лежит на $KN$, векторами от точки $C$. Из $BK:KC=3:1$ имеем $\overrightarrow{CK}=\dfrac14\overrightarrow{CB}$; из $CN:ND=3:1$ — $\overrightarrow{CN}=\dfrac34\overrightarrow{CD}$. Диагональ: $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$, поэтому

$$\overrightarrow{CF'}=\dfrac{3}{16}\overrightarrow{CB}+\dfrac{3}{16}\overrightarrow{CD}=\dfrac{3}{16}\cdot4\,\overrightarrow{CK}+\dfrac{3}{16}\cdot\dfrac43\,\overrightarrow{CN}=\dfrac34\overrightarrow{CK}+\dfrac14\overrightarrow{CN}.$$

Сумма коэффициентов $\dfrac34+\dfrac14=1$, значит, $F'$ лежит на прямой $KN$ (а коэффициенты положительны — даже на отрезке $KN$).

Итак, отрезок $FF'$ лежит в плоскости $FNK$ и параллелен $SA$. Прямая $SA$ не лежит в этой плоскости: плоскость $FNK$ вертикальна и пересекает основание по прямой $KN$, а точка $A$ на прямой $KN$ не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости $AS\parallel FNK$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $AB=AS=8$. Раз $AS\parallel FNK$, все точки прямой $AS$ одинаково удалены от плоскости $FNK$. У тетраэдров $SFNK$ и $AFNK$ общее основание $FNK$ и равные высоты, значит, их объёмы равны. Удобнее считать $V_{AFNK}$ — с основанием $AKN$ и высотой $FF'$.

Высота: $FF'=\dfrac{3}{16}\cdot SA=\dfrac{3}{16}\cdot8=\dfrac32$.

Площадь $AKN$: $BK=6$, $KC=2$, $CN=6$, $ND=2$. Из квадрата площади $64$ вычтем три угловых треугольника: $S_{ABK}=\dfrac12\cdot8\cdot6=24$, $S_{KCN}=\dfrac12\cdot2\cdot6=6$, $S_{NDA}=\dfrac12\cdot2\cdot8=8$:

$$S_{AKN}=64-24-6-8=26,\qquad V=\dfrac13\cdot26\cdot\dfrac32=13.$$

Проверим вторым способом: $V_{SFNK}=\dfrac13\cdot S_{FNK}\cdot d$, где $d$ — расстояние от $S$ (или $A$) до вертикальной плоскости $FNK$, то есть расстояние от $A$ до прямой $KN$ в основании. В координатах $A(0;0)$, $K(8;6)$, $N(2;8)$: прямая $KN$: $x+3y-26=0$, $d=\dfrac{26}{\sqrt{10}}$. $KN=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$, $S_{FNK}=\dfrac12\cdot2\sqrt{10}\cdot\dfrac32=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$. $V=\dfrac13\cdot\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\cdot\dfrac{26}{\sqrt{10}}=13$. Совпало.