Задание 15 ЕГЭ по математике №00042536

Пункт а. Докажем, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, тогда и только тогда, когда длины всех боковых рёбер равны между собой (или все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним углом).

Пусть $DABC$ — тетраэдр с основанием $ABC$, $DO$ — его высота, $O$ — точка плоскости $ABC$. Надо доказать две равносильности: «$O$ — центр описанной окружности $\Leftrightarrow$ $DA=DB=DC$» и «$DA=DB=DC$ $\Leftrightarrow$ рёбра наклонены к основанию под равными углами».

Часть 1. Центр описанной окружности и равные рёбра.

Шаг 1. Высота $DO$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а значит, и прямым $OA$, $OB$, $OC$. Треугольники $DOA$, $DOB$, $DOC$ прямоугольные с прямым углом при $O$ и общим катетом $DO$ (если $O$ совпадает с вершиной, например $O=A$, то «треугольник» вырождается, но равенство ниже остаётся верным при $OA=0$). По теореме Пифагора:

$$DA^2=DO^2+OA^2,\qquad DB^2=DO^2+OB^2,\qquad DC^2=DO^2+OC^2.$$

Шаг 2. Пусть $DA=DB=DC$. Вычитая из равных левых частей одно и то же $DO^2$, получаю $OA^2=OB^2=OC^2$, то есть $OA=OB=OC$. Точка $O$ плоскости $ABC$ равноудалена от $A$, $B$, $C$, значит, это центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Шаг 3. Обратно, пусть $O$ — центр описанной окружности, $OA=OB=OC=R$. Тогда правые части трёх равенств совпадают: $DA^2=DB^2=DC^2=DO^2+R^2$, и $DA=DB=DC$.

Часть 2. Равные рёбра и равные углы наклона.

Шаг 4. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией. Проекция ребра $DA$ — отрезок $OA$, поэтому угол наклона $\alpha_A=\angle DAO$, и в прямоугольном треугольнике $DOA$

$$\sin\alpha_A=\dfrac{DO}{DA}.$$

Если $O=A$, ребро $DA$ перпендикулярно основанию, $\alpha_A=90^\circ$ и $DA=DO$ — формула тоже верна. Аналогично $\sin\alpha_B=\dfrac{DO}{DB}$, $\sin\alpha_C=\dfrac{DO}{DC}$.

Шаг 5. Числитель $DO$ у всех трёх дробей один и тот же. Углы наклона лежат в промежутке $(0^\circ;90^\circ]$, где синус строго возрастает, поэтому

$$\alpha_A=\alpha_B=\alpha_C\ \Longleftrightarrow\ \sin\alpha_A=\sin\alpha_B=\sin\alpha_C\ \Longleftrightarrow\ DA=DB=DC.$$

Вместе с частью 1 это значит: основание высоты — центр описанной около основания окружности тогда и только тогда, когда все боковые рёбра равны, и тогда и только тогда, когда они наклонены к основанию под одним углом. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Найдём объём при $AB=6$, $BC=8$, $AC=10$ и боковых рёбрах $13$.

Боковые рёбра равны, поэтому по пункту а основание высоты $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Треугольник $ABC$ прямоугольный: $AB^2+BC^2=36+64=100=AC^2$, прямой угол при вершине $B$. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы: $OA=\dfrac{AC}{2}=5$.

Высоту найдём из прямоугольного треугольника $DOA$:

$$DO=\sqrt{DA^2-OA^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Площадь основания — половина произведения катетов: $S_{ABC}=\dfrac12\cdot6\cdot8=24$. Объём пирамиды:

$$V=\dfrac13\cdot S_{ABC}\cdot DO=\dfrac13\cdot24\cdot12=96.$$

Проверим себя координатами, не опираясь на пункт а. Положим $B(0;\,0;\,0)$, $A(6;\,0;\,0)$, $C(0;\,8;\,0)$, $D(x;\,y;\,z)$, $z\gt0$. Из $DA=DB$: $(x-6)^2=x^2$, то есть $x=3$; из $DC=DB$: $(y-8)^2=y^2$, то есть $y=4$. Тогда $DB^2=9+16+z^2=169$, $z=12$.

Высота тетраэдра — это $z=12$, а точка $(3;\,4;\,0)$ — действительно середина гипотенузы $AC$. Объём $\dfrac13\cdot24\cdot12=96$ — совпало.