Задание 15 ЕГЭ по математике №00043717

Сначала поймём, как выглядит сечение. Плоскость проходит через прямую $CD$ и точку $A_1$. Прямая $A_1B_1$ параллельна $AB$, а $AB\parallel CD$ (основания трапеции). Значит, прямая через $A_1$, параллельная $CD$, — это $A_1B_1$, и она целиком лежит в плоскости. Сечение — четырёхугольник $CDA_1B_1$.

Обозначим: $AB=c$, $CD=b$, $AD=d$ (это высота трапеции, ведь $\angle BAD=90^\circ$), высота призмы $h$. Объём призмы $V=\dfrac{b+c}{2}\cdot d\cdot h$.

Объём нижней части $ADA_1BCB_1$. Разрежем её плоскостью $A_1BC$ на пирамиду $A_1ABCD$ (вершина $A_1$, основание — трапеция $ABCD$) и тетраэдр $A_1BCB_1$.

Пирамида: высота — ребро $AA_1=h$, объём $\dfrac13\cdot\dfrac{b+c}{2}d\cdot h=\dfrac{(b+c)dh}{6}$.

Тетраэдр $A_1BCB_1$: возьмём за основание треугольник $A_1BB_1$ в грани $ABB_1A_1$. Он прямоугольный с катетами $A_1B_1=c$ и $BB_1=h$, площадь $\dfrac{ch}{2}$. Высота из $C$ на плоскость $ABB_1A_1$ равна расстоянию от $C$ до прямой $AB$ в основании, то есть высоте трапеции $d$ (грань $ABB_1A_1$ перпендикулярна основанию). Объём $\dfrac13\cdot\dfrac{ch}{2}\cdot d=\dfrac{cdh}{6}$.

Итого нижняя часть: $V_{\text{н}}=\dfrac{(b+c)dh}{6}+\dfrac{cdh}{6}=\dfrac{(b+2c)dh}{6}$.

Верхняя часть: $V_{\text{в}}=V-V_{\text{н}}=\dfrac{3(b+c)dh-(b+2c)dh}{6}=\dfrac{(2b+c)dh}{6}$.

Пункт а. При $c=4b$: $V_{\text{в}}=\dfrac{6b\cdot dh}{6}$, $V_{\text{н}}=\dfrac{9b\cdot dh}{6}$. Отношение $9:6=3:2$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $V_{\text{в}}=V_{DA_1D_1CB_1C_1}=30$, $V_{\text{н}}=V_{ADA_1BCB_1}=20$, $b=5$, $d=4$:

$$\dfrac{(10+c)\cdot4h}{6}=30,\qquad \dfrac{(5+2c)\cdot4h}{6}=20.$$

Делим первое на второе: $\dfrac{10+c}{5+2c}=\dfrac32$, то есть $20+2c=15+6c$, $c=\dfrac54$.

Тогда из первого: $\left(10+\dfrac54\right)\cdot\dfrac{4h}{6}=30$, $\dfrac{45}{4}\cdot\dfrac{2h}{3}=30$, $7{,}5h=30$, $h=4$.

Проверим себя: объём всей призмы $\dfrac{5+1{,}25}{2}\cdot4\cdot4=50=30+20$ — совпало.