Задание 15 ЕГЭ по математике №00042139

Пусть $O$ — центр основания, $E$ — середина $AB$, $r=OE$. Тогда $OC=2r$, $CE=3r$ (центр делит медиану в отношении $2:1$). Двугранный угол при основании — угол $MEO$ (обе прямые $ME$ и $OE$ перпендикулярны $AB$).

Переведём угол в тангенс: $\sin\angle MEO=\dfrac{5\sqrt{29}}{29}=\dfrac{5}{\sqrt{29}}$, $\cos\angle MEO=\sqrt{1-\dfrac{25}{29}}=\dfrac{2}{\sqrt{29}}$, $\operatorname{tg}\angle MEO=\dfrac52$. Значит, высота $MO=\dfrac52\,r$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. $AB\perp CE$ и $AB\perp ME$, поэтому $AB\perp(MEC)$ и $AB\perp KE$. Площадь сечения $\dfrac12AB\cdot KE$, площадь основания $\dfrac12AB\cdot CE$, и по условию

$$KE=\dfrac{5}{\sqrt{41}}\cdot CE=\dfrac{15r}{\sqrt{41}}.$$

Шаг 2. Длина ребра: $MC=\sqrt{OC^2+MO^2}=\sqrt{4r^2+\dfrac{25r^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}\,r$. Пусть $EH$ — перпендикуляр из $E$ к прямой $MC$ в треугольнике $MEC$. Из двух записей площади этого треугольника:

$$EH=\dfrac{CE\cdot MO}{MC}=\dfrac{3r\cdot\frac52r}{\frac{\sqrt{41}}{2}r}=\dfrac{15r}{\sqrt{41}}.$$

Шаг 3. Предположим, что $K\ne H$. Тогда треугольник $EHK$ прямоугольный с гипотенузой $EK$, и $EK\gt EH$. Но $EK=EH$ — противоречие. Значит, $K=H$ и $EK\perp MC$.

Шаг 4. $MC\perp EK$ и $MC\perp AB$ (так как $AB\perp(MEC)$), а $EK$ и $AB$ — пересекающиеся прямые плоскости $\alpha$. Следовательно, $MC\perp\alpha$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. В прямоугольном треугольнике $CKE$ гипотенуза $CE=3r$:

$$CK=\sqrt{CE^2-KE^2}=\sqrt{9r^2-\dfrac{225r^2}{41}}=\sqrt{\dfrac{369r^2-225r^2}{41}}=\sqrt{\dfrac{144r^2}{41}}=\dfrac{12r}{\sqrt{41}}.$$

Шаг 2. $MC=\dfrac{\sqrt{41}}{2}r=\dfrac{41r}{2\sqrt{41}}$, поэтому

$$MK=MC-CK=\dfrac{41r}{2\sqrt{41}}-\dfrac{24r}{2\sqrt{41}}=\dfrac{17r}{2\sqrt{41}},\qquad \dfrac{MK}{MC}=\dfrac{17}{41}.$$

Шаг 3. У пирамид $MABK$ и $MABC$ общая грань $MAB$, а расстояния до неё от $K$ и $C$ относятся как $MK:MC$:

$$V_{MABK}=\dfrac{17}{41}\cdot123\sqrt{17}=17\cdot3\sqrt{17}=51\sqrt{17}.$$

Проверим себя: так как $MC\perp\alpha$, объёмы пирамид $MABK$ и $CABK$ относятся как высоты $MK:KC=17:24$, и $\dfrac{17}{17+24}=\dfrac{17}{41}$ — та же доля. Совпало.