Задание 15 ЕГЭ по математике №00043707

Плоскость $\alpha$ параллельна $AB$. Это главный ключ: она пересекает основание и грань $SAB$ (обе содержат $AB$) по прямым, параллельным $AB$. Так получаем две параллельные стороны сечения.

Пункт а. Плоскость основания содержит $AB$, а $\alpha\parallel AB$, поэтому $\alpha$ пересекает основание по прямой через $E$, параллельной $AB$. Она встречает $BC$ в точке $G$, и по теореме о пропорциональных отрезках $CG:GB=CE:EA=2:1$, а $EG=\dfrac{CE}{CA}\cdot AB=\dfrac23AB$.

Так же в грани $SAB$: $\alpha$ пересекает её по прямой через $N$, параллельной $AB$; она встречает $SA$ в точке $M$, $SM:MA=SN:NB=1:2$, и $MN=\dfrac{SN}{SB}\cdot AB=\dfrac13AB$.

Сечение — четырёхугольник $EGNM$ (стороны $GN$ и $ME$ лежат в гранях $SBC$ и $SAC$). Стороны $EG$ и $MN$ параллельны (обе параллельны $AB$) и не равны ($\dfrac23AB\neq\dfrac13AB$), поэтому это трапеция.

Боковые стороны $ME$ и $NG$. Сравним треугольники $MAE$ и $NBG$: $AM=\dfrac23SA=\dfrac23SB=BN$; $AE=\dfrac13AC=\dfrac13BC=BG$; углы $MAE$ и $NBG$ — это углы $SAC$ и $SBC$, а они равны, потому что треугольники $SAC$ и $SBC$ равны по трём сторонам ($SA=SB$, $AC=BC$, $SC$ общая). Значит, треугольники $MAE$ и $NBG$ равны (по двум сторонам и углу между ними), и $ME=NG$. Трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Сначала объём всей пирамиды. Вершина правильной пирамиды проектируется в центр $O$ основания; $OA$ — радиус описанной окружности: $OA=\dfrac{AB}{\sqrt3}=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3$. Высота $SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{27-12}=\sqrt{15}$. Площадь основания $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot36=9\sqrt3$.

$$V=\dfrac13\cdot9\sqrt3\cdot\sqrt{15}=3\sqrt{45}=9\sqrt5.$$

Многогранник с вершиной $A$ — это $ABGEMN$ (в нём и вершина $B$). Разрежем его плоскостью $NAE$ на две части: пирамиду $N\text{-}ABGE$ (вершина $N$, основание — трапеция $ABGE$ в плоскости основания) и тетраэдр $NAEM$.

Пирамида $N\text{-}ABGE$. $S_{ABGE}=S_{ABC}-S_{CEG}$; треугольник $CEG$ подобен $CAB$ с коэффициентом $\dfrac23$, его площадь $\dfrac49\cdot9\sqrt3=4\sqrt3$. Значит, $S_{ABGE}=5\sqrt3$. Высота точки $N$ над основанием: $\dfrac{NB}{SB}\cdot SO=\dfrac23\sqrt{15}$.

$$V_1=\dfrac13\cdot5\sqrt3\cdot\dfrac23\sqrt{15}=\dfrac{10}{9}\sqrt{45}=\dfrac{10}{9}\cdot3\sqrt5=\dfrac{10\sqrt5}{3}.$$

Тетраэдр $NAEM$. Его основание $AEM$ лежит в грани $SAC$: $S_{AEM}=\dfrac{AE}{AC}\cdot\dfrac{AM}{AS}\cdot S_{SAC}=\dfrac13\cdot\dfrac23\cdot S_{SAC}=\dfrac29S_{SAC}$. Высота из $N$ на плоскость $SAC$ — это $\dfrac{SN}{SB}=\dfrac13$ от высоты из $B$. Поэтому

$$V_2=\dfrac29\cdot\dfrac13\cdot V_{BSAC}=\dfrac{2}{27}\cdot9\sqrt5=\dfrac{2\sqrt5}{3}.$$

Итого $V_1+V_2=\dfrac{10\sqrt5}{3}+\dfrac{2\sqrt5}{3}=\dfrac{12\sqrt5}{3}=4\sqrt5$.

Проверим на правдоподобие: $4\sqrt5$ составляет $\dfrac49$ от $9\sqrt5$, вторая часть — $5\sqrt5$. Обе части меньше всей пирамиды и вместе дают её объём.