Задание 15 ЕГЭ по математике №00042135

Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения медиан), $E$ — середина $AB$. Пирамида правильная, поэтому $SO\perp(ABC)$. Обозначим через $A'$ и $B'$ середины рёбер $SA$ и $SB$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна основанию, поэтому вместе с каждой своей точкой содержит и её проекцию на основание. Проекция середины $A'$ ребра $SA$ — середина $A''$ отрезка $OA$ (проекция отрезка $SA$ — отрезок $OA$, середина переходит в середину). Так же проекция $B'$ — середина $B''$ отрезка $OB$.

Шаг 2. Значит, $\alpha$ пересекает основание по прямой $A''B''$. Это средняя линия треугольника $OAB$: она параллельна $AB$ и делит пополам любой отрезок из $O$ к стороне $AB$, в том числе $OE$. Пусть $X$ — точка пересечения $\alpha$ с медианой $CE$; тогда $X$ — середина $OE$.

Шаг 3. Медианы делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины: $CO=\dfrac23CE$, $OE=\dfrac13CE$. Тогда

$$CX=CO+\dfrac12OE=\dfrac23CE+\dfrac16CE=\dfrac56CE,\qquad XE=\dfrac16CE,\qquad CX:XE=5:1.$$

Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Высота пирамиды. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника $OA=\dfrac{AB}{\sqrt3}=\dfrac{60}{\sqrt3}=20\sqrt3$, $OA^2=1200$.

$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{1369-1200}=\sqrt{169}=13.$$

Шаг 2. Сечение. Прямая $A''B''$ параллельна $AB$ и пересекает стороны $CA$ и $CB$ в точках $P$ и $Q$, причём $\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{CX}{CE}=\dfrac56$ (подобие треугольников $CPQ$ и $CAB$). Отрезок $SC$ плоскость не пересекает: его проекция $CO$ не доходит до $X$. Сечение — четырёхугольник $PQB'A'$, где

$$PQ=\dfrac56\cdot60=50,\qquad A'B'=\dfrac12AB=30\ \text{(средняя линия треугольника } SAB\text{)}.$$

$PQ\parallel AB\parallel A'B'$, значит, это трапеция. Обе её основания горизонтальны и лежат в вертикальной плоскости $\alpha$, отрезок $A'B'$ находится ровно над прямой $PQ$ на высоте $\dfrac{SO}{2}=\dfrac{13}{2}$ — это и есть высота трапеции.

$$S_{PQB'A'}=\dfrac{50+30}{2}\cdot\dfrac{13}{2}=40\cdot\dfrac{13}{2}=260.$$

Шаг 3. Расстояние от $C$ до $\alpha$. Отрезок $CX$ лежит в основании и перпендикулярен прямой $PQ$ (так как $PQ\parallel AB\perp CE$). Плоскость $\alpha$ перпендикулярна основанию, а $CX$ перпендикулярен линии их пересечения, поэтому $CX\perp\alpha$.

$$CE=\dfrac{60\sqrt3}{2}=30\sqrt3,\qquad CX=\dfrac56\cdot30\sqrt3=25\sqrt3.$$

Шаг 4. Объём пирамиды с вершиной $C$:

$$V=\dfrac13\cdot260\cdot25\sqrt3=\dfrac{6500\sqrt3}{3}.$$

Проверим себя в общем виде: $S_{\text{сеч}}=\dfrac{\frac56+\frac12}{2}AB\cdot\dfrac{SO}{2}=\dfrac{AB\cdot SO}{3}$, $CX=\dfrac{5\sqrt3}{12}AB$, $V=\dfrac{5\sqrt3\,AB^2\,SO}{108}=\dfrac{5\sqrt3\cdot3600\cdot13}{108}=\dfrac{6500\sqrt3}{3}\approx3752{,}8$. Координатный расчёт даёт то же число.