Задание 15 ЕГЭ по математике №00043716

Пусть $E$ и $F$ — середины $BC$ и $CD$, $O$ — центр квадрата. Сравним положение точки $K$ на $AS$ с тем, как $EF$ режет диагональ $AC$.

Пункт а. $EF$ — средняя линия треугольника $BCD$, $EF\parallel BD$; она пересекает $AC$ в точке $G$ — середине $CO$. Поэтому $AG=\dfrac34AC$.

$AK=AS-KS=6-1{,}5=4{,}5$, и $\dfrac{AK}{AS}=\dfrac{4{,}5}{6}=\dfrac34$.

В треугольнике $ASC$ точки $K$ и $G$ делят стороны $AS$ и $AC$ в одном отношении $\dfrac34$, считая от $A$. По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $KG\parallel SC$.

Прямая $KG$ лежит в плоскости $\alpha$ (обе точки в ней) и параллельна $SC$. Прямая $SC$ в $\alpha$ не лежит (точка $C$ не принадлежит $\alpha$). Значит, $\alpha\parallel SC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $AB=4\sqrt2$, $AC=BD=8$, $SC=\sqrt{AS^2+AC^2}=\sqrt{36+64}=10$.

Сечение. Плоскость $\alpha$ параллельна $SC$, поэтому в гранях $SBC$ и $SCD$ она оставляет прямые через $E$ и $F$, параллельные $SC$, — это средние линии; они приходят в середины $E'$ и $F'$ рёбер $SB$ и $SD$. Сечение — пятиугольник $EFF'KE'$.

Разобьём его на четырёхугольник $EFF'E'$ и треугольник $E'F'K$.

Четырёхугольник $EFF'E'$. $EF$ и $E'F'$ — средние линии треугольников $BCD$ и $SBD$, обе параллельны $BD$ и равны $\dfrac{BD}{2}=4$. $EE'$ и $FF'$ — средние линии треугольников $SBC$ и $SCD$, параллельны $SC$ и равны $\dfrac{SC}{2}=5$. Значит, это параллелограмм.

Более того, $BD\perp AC$ и $BD\perp SA$, поэтому $BD\perp$ плоскости $SAC$ и $BD\perp SC$. Стороны $EF\parallel BD$ и $EE'\parallel SC$ перпендикулярны — это прямоугольник площадью $4\cdot5=20$.

Треугольник $E'F'K$. Основание $E'F'=4$. Отрезок $E'F'$ пересекает $SO$ в её середине $N$. Высота треугольника из $K$ — это $KN$: прямая $KN$ лежит в плоскости $SAC$ и, как сейчас увидим, параллельна $SC$, а значит, перпендикулярна $BD\parallel E'F'$.

В плоскости $SAC$ поставим $A$ в начало, $AC$ — по горизонтали, $AS$ — по вертикали. Тогда $O=(4;0)$, $S=(0;6)$, $N=(2;3)$, $K=(0;4{,}5)$. Вектор $\overrightarrow{KN}=(2;-1{,}5)$ пропорционален $\overrightarrow{SC}=(8;-6)$, и $KN=\sqrt{4+2{,}25}=2{,}5$.

$S_{E'F'K}=\dfrac12\cdot4\cdot2{,}5=5$.

$$S_{\text{сеч}}=20+5=25.$$

Проверим себя через проекцию сечения на основание: она равна квадрату без трёх уголков у вершин $B$, $C$, $D$ (каждый — прямоугольный треугольник с катетами $2\sqrt2$, площадь $4$): $32-12=20$. Угол между $\alpha$ и основанием равен углу $SCA$, $\cos\angle SCA=\dfrac{AC}{SC}=\dfrac45$. Площадь сечения $\dfrac{20}{4/5}=25$ — совпало.