Задание 15 ЕГЭ по математике №00043700

Все четыре точки $D$, $E$, $P$, $F$ получаются из одной точки $O$: $P$ лежит на прямой $OD$, $F$ — на прямой $OE$. Значит, они в одной плоскости, а четырёхугольник $DPEF$ — сечение пирамиды. Отношение в пункте б найдём теоремой Менелая, «перешагивая» через общую прямую $SC$.

Пункт а. Прямые $OD$ и $OE$ пересекаются в точке $O$, поэтому лежат в одной плоскости $\beta$. Точки $D$, $P$ (на $OD$) и $E$, $F$ (на $OE$) лежат в $\beta$.

Посмотрим, где лежат стороны четырёхугольника $DPEF$: $DP$ — в грани $SAC$, $PE$ — в грани $SAB$, $EF$ — в грани $SBC$, $FD$ — в основании $ABC$. Это сечение пирамиды плоскостью $\beta$, и оно выпуклое: сечение выпуклого многогранника плоскостью — выпуклый многоугольник. В обходе $D\to P\to E\to F$ вершины $D$ и $E$ противолежащие, $P$ и $F$ — тоже. Значит, $DE$ и $PF$ — диагонали выпуклого четырёхугольника.

У выпуклого четырёхугольника концы одной диагонали лежат по разные стороны от прямой, содержащей другую, поэтому диагонали пересекаются. Значит, отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Сначала грань $SBC$. Прямая $OEF$ пересекает сторону $SB$ (в точке $E$), сторону $BC$ (в точке $F$) и продолжение стороны $CS$ (в точке $O$). По теореме Менелая для треугольника $SBC$:

$$\dfrac{SE}{EB}\cdot\dfrac{BF}{FC}\cdot\dfrac{CO}{OS}=1.$$

По условию $\dfrac{SE}{EB}=\dfrac13$, а из $CF=2FB$ получаем $\dfrac{BF}{FC}=\dfrac12$. Тогда $\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{CO}{OS}=1$, и $\dfrac{CO}{OS}=6$. Точка $O$ лежит за $S$, поэтому $CO$ длиннее $OS$: $CO=6\cdot OS$.

Теперь грань $SAC$. Прямая $ODP$ пересекает сторону $AC$ (в $D$), сторону $SA$ (в $P$) и продолжение $CS$ (в $O$). Теорема Менелая для треугольника $SAC$:

$$\dfrac{SP}{PA}\cdot\dfrac{AD}{DC}\cdot\dfrac{CO}{OS}=1\quad\Rightarrow\quad \dfrac{SP}{PA}\cdot\dfrac13\cdot6=1\quad\Rightarrow\quad\dfrac{SP}{PA}=\dfrac12.$$

Значит, $AP=2\cdot SP$ и $AS=AP+PS=3\cdot SP$, откуда $AP:AS=2:3$.

Проверим векторами от точки $C$. Пусть $\vec s=\overrightarrow{CS}$, $\vec a=\overrightarrow{CA}$, $\vec b=\overrightarrow{CB}$. Тогда $\overrightarrow{CO}=\dfrac65\vec s$ (так как $CO=6\cdot OS$ и $CS=5\cdot OS$), $\overrightarrow{CD}=\dfrac34\vec a$, $\overrightarrow{CP}=\dfrac13\vec a+\dfrac23\vec s$ (точка на $AS$ с $AP:PS=2:1$). Точка $P$ на прямой $OD$: $\overrightarrow{CP}=(1-\lambda)\cdot\dfrac65\vec s+\lambda\cdot\dfrac34\vec a$. Из коэффициента при $\vec a$: $\lambda=\dfrac49$, тогда при $\vec s$: $\dfrac59\cdot\dfrac65=\dfrac23$ — совпало с $\dfrac23$.