Задание 15 ЕГЭ по математике №00043715

Пусть $E$ и $F$ — середины $BC$ и $CD$. Плоскость $\alpha$ проходит через $EF$ и параллельна $SC$. Главная идея: плоскость $SAC$ содержит $SC$, поэтому $\alpha$ пересекает её по прямой, параллельной $SC$.

Пункт а. $EF$ — средняя линия треугольника $BCD$, она параллельна $BD$ и пересекает диагональ $AC$ в точке $G$. Пусть $O$ — центр квадрата; $EF$ делит пополам отрезок $CO$, поэтому $CG=\dfrac14AC$, $AG=\dfrac34AC$.

Точка $G$ лежит в $\alpha$ и в плоскости $SAC$. Значит, $\alpha$ пересекает плоскость $SAC$ по прямой через $G$, параллельной $SC$. Она встречает $AS$ в точке $Q$, и по теореме о пропорциональных отрезках

$$\dfrac{AQ}{AS}=\dfrac{AG}{AC}=\dfrac34.$$

Значит, $SQ=\dfrac14AS$ и $SQ:QA=1:3$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $AB=4$, $AS=3\sqrt2$, $AQ=\dfrac34\cdot3\sqrt2=\dfrac{9\sqrt2}{4}$.

Сечение. Продолжим $EF$ в плоскости основания до пересечения с прямыми $AB$ и $AD$ в точках $U$ и $W$. Так как $EF\parallel BD$ и $E$ — середина $BC$, треугольник $BUE$ равен треугольнику $CFE$, поэтому $BU=CF=2$, $AU=6$; так же $AW=6$.

Плоскость $\alpha$ пересекает грань $SAB$ по прямой $QU$, а грань $SAD$ — по прямой $QW$. Прямая $QU$ встречает ребро $SB$ в точке $E'$, прямая $QW$ встречает $SD$ в точке $F'$. Сечение — пятиугольник $EFF'QE'$. Он получается из треугольника $QUW$, если отрезать два уголка — треугольники $UEE'$ и $WFF'$.

Треугольник $QUW$. $UW=6\sqrt2$. Его высота из $Q$ проектируется в высоту из $A$ треугольника $AUW$, то есть в отрезок $AL$ до середины $L$ гипотенузы $UW$: $AL=\dfrac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$. Тогда

$$QL=\sqrt{AQ^2+AL^2}=\sqrt{\dfrac{81\cdot2}{16}+18}=\sqrt{\dfrac{450}{16}}=\dfrac{15\sqrt2}{4},\qquad S_{QUW}=\dfrac12\cdot6\sqrt2\cdot\dfrac{15\sqrt2}{4}=22{,}5.$$

Уголки. На прямой $UW$ точки идут $U$, $E$, $F$, $W$ через равные промежутки $2\sqrt2$, поэтому $UE=\dfrac13UW$.

Точка $E'$ — середина $SB$: в грани $SBC$ плоскость $\alpha$ оставляет прямую через $E$, параллельную $SC$, то есть среднюю линию треугольника $SBC$. Какую часть отрезка $UQ$ составляет $UE'$? Спроецируем всё на прямую $AB$: $Q$ проектируется в $A$, середина $E'$ ребра $SB$ — в середину $AB$ (на расстоянии $2$ от $A$), а $U$ стоит на расстоянии $6$ от $A$. Параллельная проекция сохраняет отношения отрезков одной прямой: $\dfrac{UE'}{UQ}=\dfrac{6-2}{6}=\dfrac23$.

Площадь треугольника с общим углом $U$ относится к площади $QUW$ как произведение отношений сторон:

$$S_{UEE'}=\dfrac13\cdot\dfrac23\cdot22{,}5=5.$$

По симметрии относительно плоскости $SAC$ второй уголок тоже равен $5$.

$$S_{\text{сеч}}=22{,}5-5-5=12{,}5.$$

Проверим себя другим разбиением. Четырёхугольник $EFF'E'$ — прямоугольник: $EF=E'F'=\dfrac{BD}{2}=2\sqrt2$, $EE'=FF'=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$ (здесь $SC=\sqrt{18+32}=5\sqrt2$), и $BD\perp SC$. Его площадь $10$. Треугольник $E'F'Q$: основание $2\sqrt2$, высота — отрезок от $Q$ до середины $SO$, он равен $\dfrac{5\sqrt2}{4}$; площадь $2{,}5$. Сумма $12{,}5$ — совпало.