Задание 15 ЕГЭ по математике №00043708

Плоскость $\alpha$ параллельна $AC$. Это главное: любая плоскость, которая содержит $AC$, пересекает $\alpha$ по прямой, параллельной $AC$. Таких плоскостей у пирамиды две — основание $ABC$ и грань $SAC$.

Пункт а. Строим сечение.

В основании: $\alpha$ проходит через $P$, поэтому пересекает основание по прямой через $P$, параллельной $AC$. Она встречает $AB$ в точке $Q$, и по теореме о пропорциональных отрезках $BQ:QA=BP:PC=2:1$. Длина: $QP=\dfrac{BP}{BC}\cdot AC=\dfrac23AC$.

В грани $SAC$: $\alpha$ проходит через $K$ и пересекает грань по прямой через $K$, параллельной $AC$. Она встречает $SC$ в точке $L$, причём $SL:LC=SK:KA=1:2$, и $KL=\dfrac{SK}{SA}\cdot AC=\dfrac13AC$.

Отрезки $KQ$ и $PL$ лежат в гранях $SAB$ и $SBC$. Сечение — четырёхугольник $QPLK$.

Стороны $QP$ и $KL$ параллельны (обе параллельны $AC$) и не равны ($\dfrac23AC\neq\dfrac13AC$). Значит, $QPLK$ — трапеция с основаниями $QP$ и $KL$ (если бы и боковые стороны были параллельны, получился бы параллелограмм с равными основаниями).

Равнобедренность. Пирамида правильная, поэтому она симметрична относительно плоскости, проходящей через ребро $SB$ и середину $M$ ребра $AC$: эта плоскость перпендикулярна $AC$ и делит его пополам, так что при симметрии $A$ переходит в $C$, а $S$ и $B$ остаются на месте.

Точка $K$ лежит на $SA$ и $AK=\dfrac23AS$; её образ лежит на $SC$ на расстоянии $\dfrac23CS$ от $C$ — это точка $L$ (ведь $CL=\dfrac23CS$). Точка $Q$ лежит на $BA$, $BQ=\dfrac23BA$; её образ лежит на $BC$ на расстоянии $\dfrac23BC$ от $B$ — это $P$.

Симметрия сохраняет длины, поэтому $KQ=LP$. Трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Обозначим объём пирамиды $V$. Найдём объём части, содержащей вершины $B$ и $S$.

Прямые $QK$ и $PL$ лежат в плоскостях $SAB$ и $SBC$, которые пересекаются по прямой $SB$. Продолжим $QK$ до пересечения с прямой $SB$ в точке $T$. По теореме Менелая для треугольника $ABS$ и прямой $QKT$:

$$\dfrac{AQ}{QB}\cdot\dfrac{BT}{TS}\cdot\dfrac{SK}{KA}=1\ \Longrightarrow\ \dfrac12\cdot\dfrac{BT}{TS}\cdot\dfrac12=1\ \Longrightarrow\ \dfrac{BT}{TS}=4.$$

Точка $T$ лежит на продолжении $BS$ за вершину $S$ (прямая пересекает стороны $AB$ и $AS$ треугольника, значит, третью — только на продолжении). Из $BT=4TS$ и $BT=BS+ST$ получаем $ST=\dfrac13BS$, $BT=\dfrac43BS$. По симметрии из пункта а прямая $PL$ проходит через ту же точку $T$ (точка $T$ лежит на $SB$ и при симметрии остаётся на месте).

Часть с вершинами $B$ и $S$ — это тетраэдр $TQBP$ без маленького тетраэдра $TKSL$ у вершины $S$.

Объём тетраэдра, у которого трёхгранный угол при вершине общий с другим тетраэдром, относится к объёму того как произведение отношений рёбер, выходящих из этой вершины. Для вершины $B$:

$$V_{TQBP}=\dfrac{BQ}{BA}\cdot\dfrac{BP}{BC}\cdot\dfrac{BT}{BS}\cdot V=\dfrac23\cdot\dfrac23\cdot\dfrac43\cdot V=\dfrac{16}{27}V.$$

Для вершины $S$ (ребро $ST$ направлено в другую сторону от $SB$, но объём от этого не меняется — углы между прямыми те же):

$$V_{TKSL}=\dfrac{SK}{SA}\cdot\dfrac{SL}{SC}\cdot\dfrac{ST}{SB}\cdot V=\dfrac13\cdot\dfrac13\cdot\dfrac13\cdot V=\dfrac{1}{27}V.$$

Часть с вершинами $B$ и $S$: $\dfrac{16}{27}V-\dfrac{1}{27}V=\dfrac{15}{27}V=\dfrac59V$. Вторая часть (с ребром $AC$): $V-\dfrac59V=\dfrac49V$.

Отношение объёмов $\dfrac49V:\dfrac59V=4:5$.

Проверим себя другим разрезом. Часть с ребром $AC$ разрежем плоскостью $KPC$ на пирамиду $KAQPC$ и тетраэдр $KPCL$. Площадь $AQPC$ равна $S_{ABC}-S_{QBP}=\left(1-\dfrac49\right)S_{ABC}=\dfrac59S_{ABC}$, высота точки $K$ — $\dfrac23$ высоты пирамиды, объём $\dfrac59\cdot\dfrac23V=\dfrac{10}{27}V$. Тетраэдр $KPCL$: треугольник $KLC$ занимает $\dfrac23\cdot\dfrac13=\dfrac29$ грани $SAC$, а точка $P$ в три раза ближе к этой грани, чем $B$: $\dfrac29\cdot\dfrac13V=\dfrac{2}{27}V$. Сумма $\dfrac{12}{27}V=\dfrac49V$ — совпало.