Задание 15 ЕГЭ по математике №00042136

Пусть $O$ — центр основания, $E$ — середина $AB$, $SE$ — апофема грани $SAB$. Пирамида правильная, $SO\perp(ABC)$. Середины рёбер $SA$ и $SB$ обозначим $A'$ и $B'$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. $A'B'$ — средняя линия треугольника $SAB$. Она делит пополам любой отрезок из $S$ к стороне $AB$, в том числе апофему $SE$: середина $R$ отрезка $SE$ лежит на $A'B'$, а значит, и в плоскости $\alpha$.

Шаг 2. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна основанию, поэтому содержит и проекцию точки $R$ на основание. Проекция отрезка $SE$ — отрезок $OE$, и середина $R$ проектируется в середину $X$ отрезка $OE$. Точка $X$ лежит на медиане $CE$ — это и есть точка пересечения $\alpha$ с медианой.

Шаг 3. Точка $O$ делит медиану $CE$ в отношении $2:1$ от вершины: $OE=\dfrac13CE$. Тогда $XE=\dfrac12OE=\dfrac16CE$ и $CX=\dfrac56CE$, то есть $CX:XE=5:1$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Высота пирамиды. Радиус описанной окружности основания $OA=\dfrac{AB}{\sqrt3}=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$, $OA^2=48$:

$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{219-48}=\sqrt{171}=3\sqrt{19}.$$

Шаг 2. Линия пересечения $\alpha$ с основанием проходит через $X$ параллельно $AB$ (она содержит проекции точек $A'$ и $B'$, а $A'B'\parallel AB$). Она пересекает $CA$ и $CB$ в точках $P$ и $Q$, причём треугольник $CPQ$ подобен $CAB$ с коэффициентом $\dfrac{CX}{CE}=\dfrac56$: $PQ=\dfrac56\cdot12=10$. Ребро $SC$ плоскость не задевает (проекция $CO$ не доходит до $X$), поэтому сечение — трапеция $PQB'A'$ с основаниями $PQ=10$ и $A'B'=6$.

Шаг 3. Высота трапеции. Плоскость $\alpha$ вертикальна, основание $A'B'$ горизонтально и лежит ровно над прямой $PQ$ на высоте $\dfrac{SO}{2}=\dfrac{3\sqrt{19}}{2}$. Площадь — средняя линия на высоту:

$$S_{PQB'A'}=\dfrac{10+6}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{19}}{2}=8\cdot\dfrac{3\sqrt{19}}{2}=12\sqrt{19}.$$

Шаг 4. Высота пирамиды с вершиной $C$ — расстояние от $C$ до $\alpha$. Отрезок $CX$ лежит в основании и перпендикулярен прямой $PQ$ (ведь $PQ\parallel AB$, а медиана равностороннего треугольника $CE\perp AB$). Так как $\alpha\perp(ABC)$, то $CX\perp\alpha$:

$$CE=\dfrac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3,\qquad CX=\dfrac56\cdot6\sqrt3=5\sqrt3.$$

Шаг 5. Объём:

$$V=\dfrac13\cdot12\sqrt{19}\cdot5\sqrt3=20\sqrt{57}.$$

Проверим себя: объём всей пирамиды $SABC$ равен $\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot144\cdot3\sqrt{19}=36\sqrt{57}$ — больше найденного, как и должно быть. Общая формула $V=\dfrac{5\sqrt3\,AB^2\,SO}{108}=\dfrac{5\sqrt3\cdot144\cdot3\sqrt{19}}{108}=20\sqrt{57}$ и координатный расчёт ($\approx151{,}0$) дают то же.