Задание 15 ЕГЭ по математике №00043719

Плоскость $\alpha$ содержит среднюю линию $MN$ трапеции и параллельна $SO$. Удобно смотреть на то, как $\alpha$ режет плоскости $SAC$ и $SBD$: обе содержат $SO$, поэтому $\alpha$ пересекает каждую из них по прямой, параллельной $SO$.

Пункт а. Средняя линия $MN$ трапеции проходит через середины диагоналей: пусть $P$ — середина $AC$, $R$ — середина $BD$, обе лежат на $MN$.

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны (накрест лежащие углы при $AD\parallel BC$), поэтому $\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{AD}{BC}$. Так как $AD\gt BC$, то $AO\gt OC$, и середина $P$ диагонали $AC$ лежит между $A$ и $O$. Так же $R$ лежит между $D$ и $O$.

В плоскости $SAC$ прямая через $P$, параллельная $SO$, пересекает ребро $SA$ в точке $P'$, и $\dfrac{AP'}{AS}=\dfrac{AP}{AO}$. В плоскости $SBD$ прямая через $R$, параллельная $SO$, пересекает $SD$ в точке $R'$, и $\dfrac{DR'}{DS}=\dfrac{DR}{DO}$.

Посчитаем: $AO=\dfrac{AD}{AD+BC}\cdot AC$, $AP=\dfrac{AC}{2}$, поэтому $\dfrac{AP}{AO}=\dfrac{AD+BC}{2AD}$. Точно так же $\dfrac{DR}{DO}=\dfrac{AD+BC}{2AD}$. Отношения одинаковы, значит, $P'R'\parallel AD$ (в треугольнике $SAD$).

Сечение — четырёхугольник $MP'R'N$: стороны $MP'$ в грани $SAB$, $P'R'$ в грани $SAD$, $R'N$ в грани $SCD$, $NM$ в основании. $MN\parallel AD\parallel P'R'$, а длины разные:

$$MN=\dfrac{AD+BC}{2},\qquad P'R'=AD\cdot\dfrac{SP'}{SA}=AD\left(1-\dfrac{AD+BC}{2AD}\right)=\dfrac{AD-BC}{2}.$$

$MN\neq P'R'$, так как $BC\gt0$. Значит, сечение — трапеция. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $AD=9$, $BC=7$: $MN=8$, $P'R'=1$.

Высота трапеции. $PP'\parallel SO$, а $SO\perp AD$; так как $MN\parallel AD$, то $PP'\perp MN$ и $PP'\perp P'R'$. Точка $P$ лежит на $MN$, точка $P'$ — на $P'R'$, поэтому $PP'$ — высота трапеции.

Из подобия треугольников $APP'$ и $AOS$:

$$PP'=SO\cdot\dfrac{AP}{AO}=6\cdot\dfrac{9+7}{2\cdot9}=6\cdot\dfrac{16}{18}=\dfrac{16}{3}.$$

$$S=\dfrac{8+1}{2}\cdot\dfrac{16}{3}=\dfrac{9\cdot16}{6}=24.$$

Проверим себя на численном примере: если $AC=16$, то $AO=9$, $AP=8$, $\dfrac{AP}{AO}=\dfrac89$; $P'R'=9\cdot\dfrac19=1$ — совпадает с формулой $\dfrac{AD-BC}{2}$.