Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043706

Решим обе части координатами: в пункте а найдём точку пересечения плоскости $KNP$ с ребром $B_1C_1$, в пункте б — расстояние по формуле расстояния от точки до плоскости. Все размеры содержат множитель $\sqrt2$; удобно сначала взять $AB=2$, $AA_1=3$, а в конце умножить расстояние на $\sqrt2$.

Пункт а. Настоящая призма подобна призме с $AB=2$, $AA_1=3$ (коэффициент $\sqrt2$), а при подобии отношения отрезков сохраняются, поэтому пункт а достаточно доказать для меньшей призмы. Возьмём $AB=2$, $AA_1=3$. Начало в $A$, ось $Ox$ по $AB$, ось $Oz$ по $AA_1$: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(1;\sqrt3;0)$.

Отношения читаем внимательно: $AN:NA_1=2:1$ отсчитано от $A$, поэтому $N(0;0;2)$; $B_1K:KB=2:1$ отсчитано от $B_1$, поэтому $KB=1$ и $K(2;0;1)$; $C_1P:PA_1=2:1$, то есть $A_1P=\dfrac13A_1C_1$: $P\left(\dfrac13;\dfrac{\sqrt3}{3};3\right)$.

Нормаль плоскости $KNP$: $\overrightarrow{NK}=(2;0;-1)$, $\overrightarrow{NP}=\left(\dfrac13;\dfrac{\sqrt3}{3};1\right)$. Ищем $\vec n=(p;q;s)$: $2p-s=0$, $\dfrac p3+\dfrac{\sqrt3}{3}q+s=0$. При $p=1$: $s=2$, $\dfrac13+\dfrac{\sqrt3}{3}q+2=0$, $q=-\dfrac{7}{\sqrt3}$. Умножим на $\sqrt3$: $\vec n=(\sqrt3;-7;2\sqrt3)$. Плоскость через $N$: $\sqrt3x-7y+2\sqrt3(z-2)=0$.

Точка ребра $B_1C_1$: $B_1+t\cdot\overrightarrow{B_1C_1}=(2-t;\ \sqrt3t;\ 3)$. Подставим: $\sqrt3(2-t)-7\sqrt3t+2\sqrt3=0$, то есть $2-t-7t+2=0$, $t=\dfrac12$. Это середина $B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Те же координаты (масштаб $AB=2$, $AA_1=3$). $F$ — середина $B_1C_1$: $F\left(\dfrac32;\dfrac{\sqrt3}{2};3\right)$. Плоскость $CNK$: $\overrightarrow{NK}=(2;0;-1)$, $\overrightarrow{NC}=(1;\sqrt3;-2)$. Нормаль $\vec m=(p;q;s)$: $2p-s=0$ и $p+\sqrt3q-2s=0$. При $p=1$: $s=2$, $\sqrt3q=3$, $q=\sqrt3$. $\vec m=(1;\sqrt3;2)$, $|\vec m|=\sqrt{1+3+4}=2\sqrt2$.

Плоскость через $N(0;0;2)$: $x+\sqrt3y+2z-4=0$. Проверка: $C$: $1+3+0-4=0$; $K$: $2+0+2-4=0$.

$$\rho=\dfrac{\left|\frac32+\frac32+6-4\right|}{2\sqrt2}=\dfrac{5}{2\sqrt2}.$$

Это расстояние в «уменьшенной» призме. Настоящая призма ($AB=2\sqrt2$, $AA_1=3\sqrt2$) больше в $\sqrt2$ раз по всем направлениям, и расстояния тоже умножаются на $\sqrt2$:

$$\rho=\dfrac{5}{2\sqrt2}\cdot\sqrt2=\dfrac52=2{,}5.$$

Проверим прямым счётом в настоящих размерах: $C(\sqrt2;\sqrt6;0)$, $N(0;0;2\sqrt2)$, $K(2\sqrt2;0;\sqrt2)$, $F\left(\dfrac{3\sqrt2}{2};\dfrac{\sqrt6}{2};3\sqrt2\right)$, плоскость $x+\sqrt3y+2z-4\sqrt2=0$. Значение в $F$: $\dfrac{3\sqrt2}{2}+\dfrac{3\sqrt2}{2}+6\sqrt2-4\sqrt2=5\sqrt2$, деленное на $2\sqrt2$, — $2{,}5$. Совпало.