Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042129

Ребро куба 6, $E$ и $K$ — середины $AB$ и $BC$, поэтому $BE=BK=3$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Найдём положение точки $M$. Опустим перпендикуляр $MM'$ на ребро $AB$; $MM'=6$ (ребро куба). Из прямоугольного треугольника $EM'M$:

$$EM'=\sqrt{EM^2-MM'^2}=\sqrt{40-36}=2.$$

Точка $M'$ отстоит от $E$ на 2, значит, $BM'=3-2=1$ или $BM'=3+2=5$, и соответственно $B_1M=1$ или $B_1M=5$.

Шаг 2. В грани $ABB_1A_1$ плоскость $\alpha$ проходит по прямой $EM$, и точка $L$ — точка пересечения прямых $EM$ и $BB_1$. Четырёхугольник $BEMB_1$ — трапеция ($B_1M\parallel BE$), её боковые стороны $BB_1$ и $EM$ при продолжении пересекаются со стороны меньшего основания. Если $B_1M=5\gt BE=3$, то они пересекутся за точкой $B$, вне луча $BB_1$ — это противоречит условию. Значит, $B_1M=1$.

Шаг 3. Треугольники $LB_1M$ и $LBE$ подобны ($B_1M\parallel BE$):

$$\dfrac{LB_1}{LB}=\dfrac{B_1M}{BE}=\dfrac13\quad\Longrightarrow\quad 3LB_1=LB_1+6\quad\Longrightarrow\quad LB_1=3.$$

Тогда $LB_1:B_1B=3:6=1:2$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление). Плоскость $\alpha$ — это плоскость $LEK$, где $BL=6+3=9$. Рёбра $BE$, $BK$, $BL$ попарно перпендикулярны. Найдём расстояние методом объёмов.

Шаг 1. Объём тетраэдра $LBEK$ (основание — прямоугольный треугольник $BEK$, высота $BL$):

$$V=\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot3\cdot3\cdot9=\dfrac{27}{2}.$$

Шаг 2. Площадь треугольника $LEK$. $EK=3\sqrt2$, $LE=LK=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}$. Высота из $L$ к $EK$ падает в середину $H$ отрезка $EK$:

$$LH=\sqrt{90-\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{90-\dfrac92}=\sqrt{\dfrac{171}{2}}=\dfrac{3\sqrt{19}}{\sqrt2},\qquad S_{LEK}=\dfrac12\cdot3\sqrt2\cdot\dfrac{3\sqrt{19}}{\sqrt2}=\dfrac{9\sqrt{19}}{2}.$$

Шаг 3. Тот же объём равен $\dfrac13\cdot S_{LEK}\cdot d$, где $d$ — искомое расстояние от $B$ до $\alpha$:

$$d=\dfrac{3V}{S_{LEK}}=\dfrac{81/2}{9\sqrt{19}/2}=\dfrac{9}{\sqrt{19}}=\dfrac{9\sqrt{19}}{19}.$$

Проверим себя: для тетраэдра с тремя попарно перпендикулярными рёбрами $p$, $q$, $r$ из одной вершины расстояние $d$ от неё до противоположной грани удовлетворяет равенству $\dfrac1{d^2}=\dfrac1{p^2}+\dfrac1{q^2}+\dfrac1{r^2}=\dfrac19+\dfrac19+\dfrac1{81}=\dfrac{19}{81}$. Отсюда $d=\dfrac{9}{\sqrt{19}}$. Совпало.