Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042538

Пункт а. Докажем, что четырёхугольник $ABCD$ является ромбом.

Ромб — это параллелограмм, у которого соседние стороны равны. Значит, нужно доказать две вещи: что $ABCD$ — параллелограмм и что $AB=AD$.

1. $ABCD$ — параллелограмм.

Координаты вектора — разность координат конца и начала:

$$\overrightarrow{AB}=(-1+2;\;1-3;\;0-0)=(1;\;-2;\;0),\qquad \overrightarrow{DC}=(0+1;\;1-3;\;2-2)=(1;\;-2;\;0).$$

Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ равны, то есть отрезки $AB$ и $DC$ параллельны, равны по длине и одинаково направлены.

Проверю, что четырёхугольник не вырожден: $\overrightarrow{AD}=(-1+2;\;3-3;\;2-0)=(1;\;0;\;2)$. Координаты $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ не пропорциональны (вторая координата у $\overrightarrow{AB}$ равна $-2$, а у $\overrightarrow{AD}$ — $0$, при равных первых), значит, точки $A$, $B$, $D$ не лежат на одной прямой.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, — параллелограмм. Значит, $ABCD$ — параллелограмм.

2. Соседние стороны равны.

Длина вектора в пространстве — корень из суммы квадратов трёх координат:

$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt5,\qquad |\overrightarrow{AD}|=\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt5.$$

Соседние стороны $AB$ и $AD$ равны, значит, параллелограмм $ABCD$ — ромб. Что и требовалось доказать.

Проверка по другому свойству ромба — его диагонали перпендикулярны: $\overrightarrow{AC}=(2;\,-2;\,2)$, $\overrightarrow{BD}=(0;\,2;\,2)$, $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0-4+4=0$.

Пункт б. Найдём расстояние от точки $O(0;\,0;\,0)$ до плоскости $ABCD$.

Плоскость задаётся точкой $A$ и двумя непараллельными векторами $\overrightarrow{AB}=(1;\,-2;\,0)$ и $\overrightarrow{AD}=(1;\,0;\,2)$. Подберём вектор нормали $\vec n=(p;\,q;\,s)$, перпендикулярный обоим:

$$\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=p-2q=0,\qquad \vec n\cdot\overrightarrow{AD}=p+2s=0.$$

Возьмём $p=2$: тогда $q=1$, $s=-1$, и $\vec n=(2;\,1;\,-1)$. Уравнение плоскости через точку $A(-2;\,3;\,0)$:

$$2(x+2)+(y-3)-z=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2x+y-z+1=0.$$

Проверим все вершины: $A$: $-4+3-0+1=0$; $B$: $-2+1-0+1=0$; $C$: $0+1-2+1=0$; $D$: $-2+3-2+1=0$ — все четыре лежат в плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — модуль значения левой части уравнения в этой точке, делённый на длину вектора нормали:

$$\rho=\dfrac{|2\cdot0+0-0+1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{6}.$$

Проверим себя без уравнения плоскости — через объём. Искомое расстояние — высота пирамиды $OABD$, опущенная из вершины $O$ на грань $ABD$. Объём этой же пирамиды посчитаем иначе — с основанием $OAB$: точки $O$, $A$, $B$ лежат в плоскости $Oxy$ (у них $z=0$), а высота к ней из точки $D$ равна её аппликате $2$.

Площадь треугольника $OAB$ с вершинами $(0;\,0)$, $(-2;\,3)$, $(-1;\,1)$ в плоскости $Oxy$: $S_{OAB}=\dfrac12\bigl|(-2)\cdot1-(-1)\cdot3\bigr|=\dfrac12$. Тогда

$$V=\dfrac13\cdot S_{OAB}\cdot2=\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot2=\dfrac13.$$

Площадь треугольника $ABD$ — половина площади ромба. По пункту а диагонали ромба перпендикулярны, поэтому $S_{ABCD}=\dfrac12\cdot AC\cdot BD$, где $AC=|(2;\,-2;\,2)|=2\sqrt3$, $BD=|(0;\,2;\,2)|=2\sqrt2$. Значит, $S_{ABCD}=2\sqrt6$ и $S_{ABD}=\sqrt6$.

$$\rho=\dfrac{3V}{S_{ABD}}=\dfrac{1}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{6}.$$

Совпало.