Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022254

а) Работаем в координатах. Ставим $A$ в начало, ось $x$ — вдоль $AB$, ось $y$ — вдоль $AD$, ось $z$ — вдоль $AA_1$.

Расставим точки. $EA = \dfrac{2}{5} \cdot 10 = 4$, поэтому $E(0;0;4)$. $FB = \dfrac{7}{10} \cdot 10 = 7$, поэтому $F(2\sqrt{2};0;7)$. $T$ — середина $B_1C_1$: $T(2\sqrt{2};3;10)$. И вершина $D_1(0;6;10)$.

Ключевое наблюдение: $\overrightarrow{FT} = (0;3;3)$, а $\overrightarrow{ED_1} = (0;6;6)$. То есть $\overrightarrow{ED_1} = 2\overrightarrow{FT}$ — прямые $FT$ и $ED_1$ параллельны.

Две параллельные прямые лежат в одной плоскости, и эта плоскость проходит через $E$, $F$, $T$ — значит, это в точности плоскость $EFT$. Прямая $ED_1$ лежит в ней целиком, поэтому и $D_1$ принадлежит плоскости $EFT$. Доказано.

б) Сечение идёт по граням: $EF$ — в грани $ABB_1A_1$, $FT$ — в грани $BCC_1B_1$, $TD_1$ — в верхней грани (обе точки на высоте 10), $D_1E$ — в грани $ADD_1A_1$. Итого четырёхугольник $EFTD_1$, причём трапеция: $ED_1 \parallel FT$.

Стороны: $FT = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$, $ED_1 = \sqrt{36 + 36} = 6\sqrt{2}$, $EF = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{8 + 9} = \sqrt{17}$, $TD_1 = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{17}$. Боковые стороны равны — трапеция равнобокая.

Высота: полуразность оснований $\dfrac{6\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$, её квадрат $\dfrac{18}{4} = 4{,}5$. Тогда $h^2 = 17 - 4{,}5 = 12{,}5 = \dfrac{25}{2}$, откуда $h = \dfrac{5}{\sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.

Площадь: $S = \dfrac{3\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{9\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{9 \cdot 5 \cdot 2}{4} = \dfrac{90}{4} = 22{,}5$. Всё сходится.