а) Работаем в координатах. Ставим A в начало, ось x — вдоль AB, ось y — вдоль AD, ось z — вдоль AA_1.

Расставим точки. EA = \dfrac{2}{5} \cdot 10 = 4, поэтому E(0;0;4). FB = \dfrac{7}{10} \cdot 10 = 7, поэтому F(2\sqrt{2};0;7). T — середина B_1C_1: T(2\sqrt{2};3;10). И вершина D_1(0;6;10).

Ключевое наблюдение: \overrightarrow{FT} = (0;3;3), а \overrightarrow{ED_1} = (0;6;6). То есть \overrightarrow{ED_1} = 2\overrightarrow{FT} — прямые FT и ED_1 параллельны.

Две параллельные прямые лежат в одной плоскости, и эта плоскость проходит через E, F, T — значит, это в точности плоскость EFT. Прямая ED_1 лежит в ней целиком, поэтому и D_1 принадлежит плоскости EFT. Доказано.

б) Сечение идёт по граням: EF — в грани ABB_1A_1, FT — в грани BCC_1B_1, TD_1 — в верхней грани (обе точки на высоте 10), D_1E — в грани ADD_1A_1. Итого четырёхугольник EFTD_1, причём трапеция: ED_1 \parallel FT.

Стороны: FT = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}, ED_1 = \sqrt{36 + 36} = 6\sqrt{2}, EF = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{8 + 9} = \sqrt{17}, TD_1 = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{17}. Боковые стороны равны — трапеция равнобокая.

Высота: полуразность оснований \dfrac{6\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}, её квадрат \dfrac{18}{4} = 4{,}5. Тогда h^2 = 17 - 4{,}5 = 12{,}5 = \dfrac{25}{2}, откуда h = \dfrac{5}{\sqrt{2}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}.

Площадь: S = \dfrac{3\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{9\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2} = \dfrac{9 \cdot 5 \cdot 2}{4} = \dfrac{90}{4} = 22{,}5. Всё сходится.