Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042128

В прямоугольнике $AB=3$, $BD=5$, значит, $AD=\sqrt{25-9}=4$. Все боковые рёбра равны, поэтому $S$ проектируется в точку $O$ пересечения диагоналей основания (центр описанной окружности). Решим задачу координатным методом.

Шаг 0. Координаты. $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $C(3;4;0)$, $D(0;4;0)$, $O\left(\dfrac32;2;0\right)$. Высота $SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{36-\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{119}{4}}=\dfrac{\sqrt{119}}{2}$, поэтому $S\left(\dfrac32;2;\dfrac{\sqrt{119}}{2}\right)$.

$SF=3=\dfrac12SA$, значит, $F$ — середина $AS$: $F\left(\dfrac34;1;\dfrac{\sqrt{119}}{4}\right)$. $BE=\dfrac53=\dfrac13BD$, поэтому $E=B+\dfrac13(D-B)=\left(2;\dfrac43;0\right)$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Найдём векторы:

$$\overrightarrow{CE}=\left(-1;-\dfrac83;0\right),\quad \overrightarrow{CF}=\left(-\dfrac94;-3;\dfrac{\sqrt{119}}{4}\right),\quad \overrightarrow{SB}=\left(\dfrac32;-2;-\dfrac{\sqrt{119}}{2}\right).$$

Шаг 2. Попробуем выразить $\overrightarrow{SB}=x\,\overrightarrow{CE}+y\,\overrightarrow{CF}$. По третьей координате $y\cdot\dfrac{\sqrt{119}}{4}=-\dfrac{\sqrt{119}}{2}$, то есть $y=-2$. По первой: $-x+\dfrac92=\dfrac32$, то есть $x=3$. Проверяем вторую: $3\cdot\left(-\dfrac83\right)-2\cdot(-3)=-8+6=-2$ — верно.

Шаг 3. Итак, $\overrightarrow{SB}=3\overrightarrow{CE}-2\overrightarrow{CF}$: вектор $\overrightarrow{SB}$ компланарен двум неколлинеарным векторам плоскости $CEF$. При этом точка $B$ плоскости не принадлежит (плоскость $CEF$ пересекает основание по прямой $CE$, а $B$ на ней не лежит). Значит, прямая $SB$ параллельна плоскости $CEF$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Уравнение плоскости $CEF$. Плоскость пересекает основание $z=0$ по прямой $CE$. Её направляющий вектор $\left(-1;-\dfrac83\right)$, поэтому нормаль в плоскости $Oxy$ можно взять $(8;-3)$, и прямая $CE$ задаётся уравнением $8x-3y=12$ (проверка: $C$: $24-12=12$; $E$: $16-4=12$). Значит, плоскость $CEF$ имеет вид $8x-3y+cz=12$. Подставим $F$: $6-3+c\cdot\dfrac{\sqrt{119}}{4}=12$, откуда $c=\dfrac{36}{\sqrt{119}}$.

$$CEF:\ 8x-3y+\dfrac{36}{\sqrt{119}}\,z=12.$$

Шаг 2. Точки отрезка $SD$: $Q=S+t(D-S)=\left(\dfrac32-\dfrac32t;\ 2+2t;\ \dfrac{\sqrt{119}}{2}(1-t)\right)$. Подставим в уравнение плоскости:

$$8\left(\dfrac32-\dfrac32t\right)-3(2+2t)+\dfrac{36}{\sqrt{119}}\cdot\dfrac{\sqrt{119}}{2}(1-t)=12,$$

$$12-12t-6-6t+18-18t=12,\qquad 24-36t=12,\qquad t=\dfrac13.$$

Шаг 3. Расстояние от $Q$ до плоскости основания $z=0$ — это её аппликата:

$$z_Q=\dfrac{\sqrt{119}}{2}\cdot\left(1-\dfrac13\right)=\dfrac{\sqrt{119}}{2}\cdot\dfrac23=\dfrac{\sqrt{119}}{3}.$$

Проверим себя геометрией: плоскость $SBD$ содержит $SB\parallel(CEF)$, поэтому пересекает $CEF$ по прямой $EQ\parallel SB$. Тогда $\dfrac{DQ}{DS}=\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{10/3}{5}=\dfrac23$ — то же $t=\dfrac13$ от точки $S$. Совпало.