Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042130

Ребро куба 4, $E$ и $K$ — середины $AB$ и $BC$, поэтому $BE=BK=2$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Плоскость $\alpha$ пересекает параллельные грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ по параллельным прямым, поэтому $MN\parallel EK$.

Шаг 2. Положение $M$. Пусть $M'$ — проекция $M$ на ребро $AB$; $MM'=4$, и

$$EM'=\sqrt{EM^2-MM'^2}=\sqrt{17-16}=1.$$

Значит, $B_1M=BM'=2-1=1$ или $B_1M=2+1=3$.

Шаг 3. Прямая $EM$ лежит в грани $ABB_1A_1$ и пересекает прямую $BB_1$ в точке $L$. Если $B_1M=3\gt BE=2$, то отрезок $EM$ «расходится» с $BB_1$ при движении вверх, и прямые $EM$ и $BB_1$ встречаются ниже точки $B$ — не на луче $BB_1$. Это противоречит условию, поэтому $B_1M=1$.

Шаг 4. Тогда $B_1M\parallel BE$ и $B_1M=\dfrac12BE$. В треугольнике $LBE$ отрезок $B_1M$ параллелен стороне $BE$ и равен её половине, значит, это средняя линия, и $B_1$ — середина $LB$. Итак, $LB_1=B_1B$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление). Плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью $LEK$, где $BL=2\cdot4=8$.

Шаг 1. Пусть $H$ — середина $EK$. Треугольник $EBK$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому $BH\perp EK$ и

$$BH=\dfrac{EK}{2}=\dfrac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

Шаг 2. $LB\perp EK$ ($LB$ перпендикулярна основанию) и $BH\perp EK$, поэтому $EK$ перпендикулярна плоскости $LBH$. В этой плоскости опустим перпендикуляр $BT$ на $LH$. Тогда $BT\perp LH$ и $BT\perp EK$ (так как $EK\perp(LBH)$), значит, $BT\perp\alpha$, и $BT$ — искомое расстояние.

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике $LBH$ (угол $B$ прямой) высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$$LH=\sqrt{8^2+(\sqrt2)^2}=\sqrt{66},\qquad BT=\dfrac{BL\cdot BH}{LH}=\dfrac{8\sqrt2}{\sqrt{66}}=\dfrac{8}{\sqrt{33}}=\dfrac{8\sqrt{33}}{33}.$$

Проверим себя формулой для вершины с тремя попарно перпендикулярными рёбрами $2$, $2$, $8$: $\dfrac1{d^2}=\dfrac14+\dfrac14+\dfrac1{64}=\dfrac{33}{64}$, $d=\dfrac{8}{\sqrt{33}}$. Совпало.