Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042127

В прямоугольнике $AB=3$, $BD=5$, поэтому $AD=\sqrt{25-9}=4$. Все боковые рёбра равны, значит, вершина $S$ проектируется в центр $O$ описанной окружности основания — точку пересечения диагоналей прямоугольника.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. В плоскости $SAB$ проведём через $F$ прямую, параллельную $SB$; она пересечёт $AB$ в точке $G$. Треугольники $AFG$ и $ASB$ подобны, поэтому

$$\dfrac{AG}{AB}=\dfrac{AF}{AS}=\dfrac{3-2}{3}=\dfrac13,\qquad AG=1,\quad GB=2.$$

Шаг 2. Докажем, что $G$ лежит на прямой $CE$. Пусть прямая $CG$ пересекает диагональ $BD$ в точке $E'$. Так как $GB\parallel DC$, треугольники $BGE'$ и $DCE'$ подобны (накрест лежащие углы и вертикальные углы равны):

$$\dfrac{BE'}{E'D}=\dfrac{BG}{DC}=\dfrac23\quad\Longrightarrow\quad BE'=\dfrac25\,BD=2.$$

Значит, $E'=E$, и точки $C$, $E$, $G$ лежат на одной прямой. Поэтому $G$ принадлежит плоскости $CEF$.

Шаг 3. Прямая $FG$ лежит в плоскости $CEF$ и параллельна $SB$, а сама $SB$ в этой плоскости не лежит (плоскость $CEF$ пересекает прямую $AB$ только в точке $G\ne B$). По признаку параллельности прямой и плоскости $SB\parallel(CEF)$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Плоскость $SBD$ проходит через прямую $SB$, параллельную плоскости $CEF$, и через точку $E$ этой плоскости. Значит, она пересекает $CEF$ по прямой через $E$, параллельной $SB$. Эта прямая и пересекает $SD$ в точке $Q$: $EQ\parallel SB$.

Шаг 2. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике $SBD$:

$$\dfrac{DQ}{DS}=\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{5-2}{5}=\dfrac35.$$

Шаг 3. Высота пирамиды. $OB=\dfrac{BD}{2}=\dfrac52$, и из прямоугольного треугольника $SOB$:

$$SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{9-\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{11}{4}}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}.$$

Шаг 4. Расстояние от точки отрезка $DS$ до плоскости основания растёт пропорционально расстоянию от $D$ (подобие прямоугольных треугольников с общим углом при $D$). Поэтому

$$\rho\big(Q,(ABC)\big)=\dfrac35\cdot SO=\dfrac35\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{2}=\dfrac{3\sqrt{11}}{10}.$$

Проверим себя координатами: $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $C(3;4;0)$, $D(0;4;0)$, $S\left(\dfrac32;2;\dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$. Плоскость через $C$, $E\left(\dfrac95;\dfrac85;0\right)$ и $F$ пересекает отрезок $SD$ в точке, делящей его как $SQ:QD=2:3$, — та же точка, высота $\dfrac35\cdot\dfrac{\sqrt{11}}{2}\approx0{,}995$.