В пирамиде ABCD рёбра DA , DB и DC попарно перпендикулярны, а AB равно BC равно AC равно 6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM: MA равно DN: NC равно 1: 2 . Найдите расстояние от точки D до плоскости MNB .

а) доказано; б) дробь: числитель: 6 корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента, знаменатель: 19 конец дроби

Задание 14 ЕГЭ по математике: В пирамиде ABCD рёбра DA , DB и DC попарно перпендикулярны, а AB…

№2. Задание 14

ID: 00022266

В пирамиде

ABCD

рёбра

DA

DB

DC

попарно перпендикулярны, а

AB=BC=AC=6\sqrt{2}

. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах

DA

DC

отмечены точки

M

N

соответственно, причём

DM:MA=DN:NC=1:2

. Найдите расстояние от точки

D

до плоскости

MNB

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

а) Обозначим $DA=a$ , $DB=b$ , $DC=c$ . Рёбра при вершине $D$ попарно перпендикулярны, поэтому треугольники $ADB$ , $BDC$ и $ADC$ прямоугольные, и по Пифагору: $AB^2=a^2+b^2$ , $BC^2=b^2+c^2$ , $AC^2=a^2+c^2$ .

Все три отрезка равны $6\sqrt2$ , то есть все три суммы равны $72$ . Вычтем: из $a^2+b^2=b^2+c^2$ следует $a=c$ ; из $b^2+c^2=a^2+c^2$ следует $a=b$ . Значит $a=b=c$ , и $2a^2=72$ , $a=6$ : все боковые рёбра равны $DA=DB=DC=6$ .

Теперь собираем определение правильной пирамиды с основанием $ABC$ . Основание — равносторонний треугольник со стороной $6\sqrt2$ , это уже дано. Опустим из вершины $D$ высоту $DO$ на плоскость $ABC$ . Прямоугольные треугольники $DOA$ , $DOB$ , $DOC$ имеют общий катет $DO$ и равные гипотенузы $DA=DB=DC$ , значит равны и вторые катеты: $OA=OB=OC$ . Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$ — это центр его описанной окружности, а у равностороннего треугольника это его центр. Вершина проецируется в центр правильного основания — пирамида правильная. Что и требовалось.

б) Найдём точки: $DM=\dfrac{DA}{3}=2$ , $DN=\dfrac{DC}{3}=2$ , $DB=6$ . Заметим главное: в маленькой пирамиде $DMNB$ рёбра $DM$ , $DN$ , $DB$ по-прежнему попарно перпендикулярны — они лежат на тех же прямых $DA$ , $DC$ , $DB$ . А искомое расстояние от $D$ до плоскости $MNB$ — это высота этой пирамиды из вершины $D$ . Добудем её методом объёмов.

Объём считается мгновенно: берём за основание прямоугольный треугольник $MDN$ (катеты $2$ и $2$ ), высота к нему — ребро $DB=6$ (оно перпендикулярно обоим катетам, значит и всей плоскости $MDN$ ): $V=\dfrac13\cdot\dfrac{2\cdot 2}{2}\cdot 6=4$ .

Теперь площадь треугольника $MNB$ . Из прямоугольного треугольника $MDN$ : $MN=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$ . Из прямоугольных треугольников $BDM$ и $BDN$ : $BM=BN=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$ . Треугольник $MNB$ равнобедренный, высота из $B$ к $MN$ попадает в середину $MN$ : её квадрат равен $BM^2-\left(\dfrac{MN}{2}\right)^2=40-2=38$ . Площадь: $S_{MNB}=\dfrac12\cdot 2\sqrt2\cdot\sqrt{38}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$ .

Осталось приравнять: $V=\dfrac13\cdot S_{MNB}\cdot d$ , откуда $d=\dfrac{3V}{S_{MNB}}=\dfrac{12}{2\sqrt{19}}=\dfrac{6}{\sqrt{19}}=\dfrac{6\sqrt{19}}{19}$ .

Проверим красивым фактом: для вершины с тремя попарно перпендикулярными рёбрами $\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{DM^2}+\dfrac{1}{DN^2}+\dfrac{1}{DB^2}=\dfrac14+\dfrac14+\dfrac1{36}=\dfrac{19}{36}$ , откуда $d=\dfrac{6}{\sqrt{19}}$ . Всё сходится.

Ответ

а) доказано; б)

\dfrac{6\sqrt{19}}{19}