Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043705

Плоскость $KNP$ задана тремя точками на разных гранях. Чтобы найти, где она пересекает верхнее основание, продолжим отрезок $NK$ до встречи с прямой $B_1C_1$ — получится вторая точка плоскости на верхней грани (первая — $P$).

Пункт а. Пусть $AA_1=h$. Из $B_1N:NB=1:2$ имеем $B_1N=\dfrac h3$; из $CK:KC_1=1:2$ — $C_1K=\dfrac{2h}{3}$.

В грани $BB_1C_1C$ прямая $NK$ пересекает прямую $C_1B_1$ в точке $T$ за точкой $B_1$. Треугольники $TB_1N$ и $TC_1K$ подобны ($B_1N\parallel C_1K$, оба отрезка вертикальны):

$$\dfrac{TB_1}{TC_1}=\dfrac{B_1N}{C_1K}=\dfrac{h/3}{2h/3}=\dfrac12.$$

Значит, $TC_1=2TB_1$, то есть $TB_1=B_1C_1$.

Точки $T$ и $P$ лежат в плоскости $KNP$ и в плоскости верхнего основания, поэтому прямая $TP$ — линия их пересечения, и $F$ — точка этой прямой на $A_1C_1$. Теорема Менелая для треугольника $A_1B_1C_1$ и прямой $TPF$:

$$\dfrac{C_1T}{TB_1}\cdot\dfrac{B_1P}{PA_1}\cdot\dfrac{A_1F}{FC_1}=1\quad\Rightarrow\quad 2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{A_1F}{FC_1}=1\quad\Rightarrow\quad A_1F=FC_1.$$

Значит, $F$ — середина $A_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Координаты: начало в $A$, ось $Ox$ по $AB$, ось $Oz$ по $AA_1$. $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(2;2\sqrt3;0)$, высота $6$. $N$ на $BB_1$ с $NB=4$: $N(4;0;4)$. $K$ на $CC_1$ с $CK=2$: $K(2;2\sqrt3;2)$. $F$ — середина $A_1C_1$: $F(1;\sqrt3;6)$.

Нормаль $\vec n=(p;q;s)$ плоскости $ANK$: $\vec n\cdot\overrightarrow{AN}=4p+4s=0$ и $\vec n\cdot\overrightarrow{AK}=2p+2\sqrt3q+2s=0$. Из первого $s=-p$, тогда второе даёт $q=0$. $\vec n=(1;0;-1)$, плоскость $x-z=0$. Подставим все три точки: $A$: $0-0=0$; $N$: $4-4=0$; $K$: $2-2=0$.

$$\rho(F)=\dfrac{|1-6|}{\sqrt{1+0+1}}=\dfrac{5}{\sqrt2}=\dfrac{5\sqrt2}{2}.$$

Проверим без координат. Середина $M$ отрезка $AN$ и точка $K$ находятся на одной высоте $2$, и $MK$ параллельна медиане $CH$ основания ($H$ — середина $AB$). А $CH\perp AB$ и $CH\perp AA_1$, то есть $CH$ перпендикулярна грани $ABB_1A_1$. Значит, плоскость $ANK$ (она содержит $MK$) перпендикулярна этой грани. Отрезок от $F$ до её проекции $F'(1;0;6)$ на грань параллелен $CH$, то есть параллелен плоскости $ANK$, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от $F'$ до прямой $AN$ в грани. В грани прямая $AN$ — это $z=x$, и расстояние от $F'(1;6)$ равно $\dfrac{|6-1|}{\sqrt2}=\dfrac{5}{\sqrt2}$. Совпало.