Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042109

Пункт а. Выделим из первых двух степеней множители $7$ и $5$, а $35^{\sin x}$ распишем как произведение:

$$7\cdot49^{\sin x}+5\cdot25^{\sin x}-12\cdot7^{\sin x}\cdot5^{\sin x}=0.$$

Это однородное уравнение относительно $7^{\sin x}$ и $5^{\sin x}$. Поделим обе части на $25^{\sin x}\gt0$ и обозначим $t=\left(\dfrac75\right)^{\sin x}\gt0$:

$$7t^2-12t+5=0,\qquad D=144-140=4,\qquad t=\dfrac{12\pm2}{14}.$$

Получаем $t=1$ или $t=\dfrac{10}{14}=\dfrac57$.

$\left(\dfrac75\right)^{\sin x}=1=\left(\dfrac75\right)^0$: $\sin x=0$, $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

$\left(\dfrac75\right)^{\sin x}=\dfrac57=\left(\dfrac75\right)^{-1}$: $\sin x=-1$. Такому синусу соответствует одна точка окружности — нижняя, поэтому $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[\dfrac{7\pi}{2};\dfrac{9\pi}{2}\right]$ — от $3{,}5\pi$ до $4{,}5\pi$, длина $\pi$. Точка $\dfrac{7\pi}{2}=4\pi-\dfrac{\pi}{2}$ — нижняя точка окружности, $\dfrac{9\pi}{2}=4\pi+\dfrac{\pi}{2}$ — верхняя; отрезок изображается правой полуокружностью.

Серия $x=\pi n$: в промежутке от $3{,}5\pi$ до $4{,}5\pi$ лежит только $4\pi$.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$: при $k=2$ получаем $\dfrac{7\pi}{2}$ — левый конец отрезка, он входит. При $k=3$ получаем $\dfrac{11\pi}{2}$ — правее.

Проверка при $\sin x=-1$: $7^{-1}+5^{-1}-12\cdot35^{-1}=\dfrac{5}{35}+\dfrac{7}{35}-\dfrac{12}{35}=0$. При $\sin x=0$: $7+5-12=0$. Оба корня верны.