Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042108

Пункт а. Все показатели зависят от $\cos x$. Распишем степени так, чтобы в них остался только $\cos x$:

$$4^{2\cos x+1}=4\cdot\left(4^{\cos x}\right)^2,\qquad 3^{2\cos x+1}=3\cdot\left(3^{\cos x}\right)^2,\qquad 12^{\cos x}=4^{\cos x}\cdot3^{\cos x}.$$

Обозначим $a=4^{\cos x}$, $b=3^{\cos x}$. Уравнение стало однородным второй степени: $4a^2-7ab+3b^2=0$.

Число $b=3^{\cos x}$ положительно при любом $x$, поэтому поделим обе части на $b^2$ и введём $t=\dfrac ab=\left(\dfrac43\right)^{\cos x}\gt0$:

$$4t^2-7t+3=0,\qquad D=49-48=1,\qquad t=\dfrac{7\pm1}{8}.$$

Получаем $t=1$ или $t=\dfrac34$. Оба значения положительны.

$\left(\dfrac43\right)^{\cos x}=1=\left(\dfrac43\right)^0$, откуда $\cos x=0$, $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

$\left(\dfrac43\right)^{\cos x}=\dfrac34=\left(\dfrac43\right)^{-1}$, откуда $\cos x=-1$, $x=\pi+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Число $-14\pi$ — целое число оборотов, на окружности это точка $0$, а $-13\pi$ — точка $\pi$. При движении от $-14\pi$ к $-13\pi$ мы проходим верхнюю полуокружность против часовой стрелки.

Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки окружности. На верхней полуокружности лежит верхняя: $x=-14\pi+\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{27\pi}{2}$.

Серия $x=\pi+2\pi n$ — левая точка окружности. Она совпадает с правым концом отрезка: $x=-13\pi$ (при $n=-7$), конец входит.

Проверка при $x=-13\pi$: $\cos x=-1$, тогда $4^{-1}+3^{-1}-7\cdot12^{-1}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}-\dfrac{7}{12}=0$ — верно. При $x=-\dfrac{27\pi}{2}$: $\cos x=0$, $4+3-7=0$ — верно.