Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042119

Пункт а. Приведём обе части к основанию $7$. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а $49=7^2$:

$$\left(49^{\sin x}\right)^{\cos x}=49^{\sin x\cos x}=7^{2\sin x\cos x}.$$

Получаем $7^{2\sin x\cos x}=7^{\sqrt3\sin x}$. Показательная функция с основанием $7$ возрастает, поэтому равны и показатели:

$$2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x\quad\Leftrightarrow\quad\sin x\left(2\cos x-\sqrt3\right)=0.$$

$\sin x=0$: $x=\pi k$.

$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$: точки $\pm\dfrac{\pi}{6}$ в I и IV четвертях, $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Ограничений нет: показательные выражения определены при любом $x$.

Пункт б. Отбор корней. Точка $-\dfrac{5\pi}{2}$ на окружности — нижняя, $-\dfrac{3\pi}{2}$ — верхняя. При движении от $-\dfrac{5\pi}{2}$ к $-\dfrac{3\pi}{2}$ проходим правую полуокружность через точку $-2\pi$.

Серия $\pi k$: на правой полуокружности лежит $-2\pi$; точки $-\pi$ и $-3\pi$ — на левой, вне отрезка.

Серия $\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$: обе точки лежат на правой полуокружности, рядом с $-2\pi$: $-2\pi+\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{11\pi}{6}$ и $-2\pi-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{13\pi}{6}$. Обе между $-\dfrac{15\pi}{6}$ и $-\dfrac{9\pi}{6}$.

Проверка $x=-\dfrac{13\pi}{6}$: $\sin x=-\dfrac12$, $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Слева показатель при основании $7$: $2\cdot\left(-\dfrac12\right)\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$; справа $\sqrt3\cdot\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ — совпало.