Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042120

Пункт а. Так как $81=9^2$ и при возведении степени в степень показатели перемножаются,

$$\left(81^{\sin x}\right)^{\cos x}=81^{\sin x\cos x}=9^{2\sin x\cos x}.$$

Уравнение: $9^{2\sin x\cos x}=9^{\sqrt2\cos x}$. Функция $9^u$ возрастает и каждое значение принимает один раз, поэтому показатели равны:

$$2\sin x\cos x=\sqrt2\cos x\quad\Leftrightarrow\quad\cos x\left(2\sin x-\sqrt2\right)=0.$$

$\cos x=0$: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$.

$\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$: точки $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$, то есть $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$ и $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$; одной формулой $x=(-1)^k\dfrac{\pi}{4}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$ — дуга против часовой стрелки от верхней точки через левую и нижнюю к правой, концы входят.

Серия $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$: верхняя точка $\dfrac{\pi}{2}$ — левый конец, входит; нижняя точка $\dfrac{3\pi}{2}$ — внутри; $\dfrac{5\pi}{2}$ — вне.

Серии с синусом: $\dfrac{\pi}{4}$ левее $\dfrac{\pi}{2}$, а $\dfrac{9\pi}{4}$ правее $2\pi$; точка $\dfrac{3\pi}{4}$ (II четверть) — внутри.

Правый конец $2\pi$ корнем не является: там $\cos x=1$, $\sin x=0$, и $2\sin x-\sqrt2=-\sqrt2\neq0$.

Проверка $x=\dfrac{3\pi}{4}$: $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$. Показатели при основании $9$: слева $2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-1$, справа $\sqrt2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-1$ — совпало.