Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042115

Пункт а. Показатель второго слагаемого — формула косинуса двойного угла: $2\cos^2x-1=\cos2x$. Значит, все степени зависят от одного выражения $\cos2x$.

Так как $81=9^2$, то $81^{\cos2x}=\left(9^{\cos2x}\right)^2$, а $3\cdot9^2=243$. Обозначим $t=9^{\cos2x}\gt0$:

$$t^2-84t+243=0,\qquad D=84^2-4\cdot243=7056-972=6084=78^2,\qquad t=\dfrac{84\pm78}{2}.$$

Получаем $t=81$ или $t=3$. Проверка по теореме Виета: $81\cdot3=243$, $81+3=84$ — верно.

$9^{\cos2x}=81=9^2$: $\cos2x=2$ — невозможно, косинус не больше единицы.

$9^{\cos2x}=3=9^{\frac12}$: $\cos2x=\dfrac12$. Тогда $2x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, и после деления на $2$:

$$x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Пункт б. Отбор корней. Точка $-\dfrac{3\pi}{2}$ на окружности совпадает с верхней точкой, $-\dfrac{\pi}{2}$ — с нижней; при движении от $-\dfrac{3\pi}{2}$ к $-\dfrac{\pi}{2}$ проходим левую полуокружность через точку $-\pi$.

На левой полуокружности серия $\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ даёт две точки, соседние с $-\pi$: $-\pi-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{6}$ и $-\pi+\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{6}$. Обе лежат между $-\dfrac{9\pi}{6}$ и $-\dfrac{3\pi}{6}$. Остальные точки серии ($-\dfrac{\pi}{6}$, $-\dfrac{11\pi}{6}$ и дальше) вне отрезка.

Проверка: при $x=-\dfrac{5\pi}{6}$ имеем $\cos2x=\cos\left(-\dfrac{5\pi}{3}\right)=\dfrac12$, тогда $81^{1/2}=9$, $9^{1/2}=3$, и $9-84\cdot3+243=9-252+243=0$ — верно. Для $-\dfrac{7\pi}{6}$: $\cos\left(-\dfrac{7\pi}{3}\right)=\dfrac12$ — то же самое.