Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 27 умножить на 81 в степени синус x минус 12…

№2. Задание 13

ID: 00028785

а) Решите уравнение $27\cdot 81^{\sin x}-12\cdot 9^{\sin x}+1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а. В уравнении две показательные величины: $81^{\sin x}$ и $9^{\sin x}$ . Но $81=9^{2}$ , поэтому $81^{\sin x}=\left(9^{\sin x}\right)^{2}$ , и всё уравнение — квадратное относительно $9^{\sin x}$ .

Введём новую переменную: $t=9^{\sin x}$ . Показательная функция положительна, поэтому $t\gt 0$ . Уравнение превращается в

$27t^{2}-12t+1=0.$

Дискриминант: $D=(-12)^{2}-4\cdot 27\cdot 1=144-108=36$ , $\sqrt{36}=6$ . Корни: $t_{1}=\dfrac{12+6}{54}=\dfrac{18}{54}=\dfrac{1}{3}$ и $t_{2}=\dfrac{12-6}{54}=\dfrac{6}{54}=\dfrac{1}{9}$ . Оба положительны, оба годятся.

Возвращаемся к $x$ . Первый случай: $9^{\sin x}=\dfrac{1}{3}$ . Запишем $\dfrac13=9^{-1/2}$ (ведь $9^{1/2}=3$ ), тогда основания совпали и показатели равны: $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ .

Второй случай: $9^{\sin x}=\dfrac{1}{9}=9^{-1}$ , значит $\sin x=-1$ .

Решаем простейшие тригонометрические уравнения. Уравнение $\sin x=-\dfrac12$ даёт две серии: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\pi+\dfrac{\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ . Уравнение $\sin x=-1$ даёт $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ .

Пункт б. Отбор корней. Нужен отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ , то есть в долях $\pi$ — от $1{,}5\pi$ до $3\pi$ . Перебираем целые $n$ в каждой серии и оставляем те числа, которые попали в этот промежуток.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ . При $n=1$ : $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{11\pi}{6}\approx 1{,}83\pi$ — лежит между $1{,}5\pi$ и $3\pi$ , берём. При $n=0$ было бы отрицательное число, при $n=2$ получилось бы $\dfrac{23\pi}{6}\approx 3{,}83\pi$ — правее отрезка.

Серия $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$ . При $n=0$ : $\dfrac{7\pi}{6}\approx 1{,}17\pi$ — левее $1{,}5\pi$ , не подходит. При $n=1$ : $\dfrac{19\pi}{6}\approx 3{,}17\pi$ — правее $3\pi$ , тоже мимо. Из этой серии ничего не берём.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ . При $n=1$ : $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{3\pi}{2}$ — это ровно левый конец отрезка, а он входит, поэтому берём. При $n=2$ : $\dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi$ — правее, не подходит.

Проверим себя: $\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$ и $\sin\dfrac{11\pi}{6}=-\dfrac12$ — оба значения из наших случаев, всё сходится.

Ответ

а) $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

б) $\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{6}$