Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028785

Пункт а. В уравнении две показательные величины: $81^{\sin x}$ и $9^{\sin x}$. Но $81=9^{2}$, поэтому $81^{\sin x}=\left(9^{\sin x}\right)^{2}$, и всё уравнение — квадратное относительно $9^{\sin x}$.

Введём новую переменную: $t=9^{\sin x}$. Показательная функция положительна, поэтому $t\gt 0$. Уравнение превращается в

$$27t^{2}-12t+1=0.$$

Дискриминант: $D=(-12)^{2}-4\cdot 27\cdot 1=144-108=36$, $\sqrt{36}=6$. Корни: $t_{1}=\dfrac{12+6}{54}=\dfrac{18}{54}=\dfrac{1}{3}$ и $t_{2}=\dfrac{12-6}{54}=\dfrac{6}{54}=\dfrac{1}{9}$. Оба положительны, оба годятся.

Возвращаемся к $x$. Первый случай: $9^{\sin x}=\dfrac{1}{3}$. Запишем $\dfrac13=9^{-1/2}$ (ведь $9^{1/2}=3$), тогда основания совпали и показатели равны: $\sin x=-\dfrac{1}{2}$.

Второй случай: $9^{\sin x}=\dfrac{1}{9}=9^{-1}$, значит $\sin x=-1$.

Решаем простейшие тригонометрические уравнения. Уравнение $\sin x=-\dfrac12$ даёт две серии: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ и $x=\pi+\dfrac{\pi}{6}+2\pi n=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$. Уравнение $\sin x=-1$ даёт $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Нужен отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$, то есть в долях $\pi$ — от $1{,}5\pi$ до $3\pi$. Перебираем целые $n$ в каждой серии и оставляем те числа, которые попали в этот промежуток.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$. При $n=1$: $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{11\pi}{6}\approx 1{,}83\pi$ — лежит между $1{,}5\pi$ и $3\pi$, берём. При $n=0$ было бы отрицательное число, при $n=2$ получилось бы $\dfrac{23\pi}{6}\approx 3{,}83\pi$ — правее отрезка.

Серия $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n$. При $n=0$: $\dfrac{7\pi}{6}\approx 1{,}17\pi$ — левее $1{,}5\pi$, не подходит. При $n=1$: $\dfrac{19\pi}{6}\approx 3{,}17\pi$ — правее $3\pi$, тоже мимо. Из этой серии ничего не берём.

Серия $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$. При $n=1$: $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{3\pi}{2}$ — это ровно левый конец отрезка, а он входит, поэтому берём. При $n=2$: $\dfrac{7\pi}{2}=3{,}5\pi$ — правее, не подходит.

Проверим себя: $\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1$ и $\sin\dfrac{11\pi}{6}=-\dfrac12$ — оба значения из наших случаев, всё сходится.