Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042114

Пункт а. Так как $256=16^2$, первое слагаемое — квадрат второго: $256^{\sin x\cos x}=\left(16^{\sin x\cos x}\right)^2$. Обозначим $t=16^{\sin x\cos x}$; показательная функция положительна, поэтому $t\gt0$.

$$t^2-18t+32=0,\qquad D=324-128=196=14^2,\qquad t=\dfrac{18\pm14}{2}.$$

Получаем $t=16$ или $t=2$.

$16^{\sin x\cos x}=16=16^1$: $\sin x\cos x=1$. Но $\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x\le\dfrac12$, так что решений нет.

$16^{\sin x\cos x}=2=16^{\frac14}$: $\sin x\cos x=\dfrac14$. По формуле синуса двойного угла $\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x$, поэтому

$$\sin 2x=\dfrac12.$$

Синус равен $\dfrac12$ в точках $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$: $2x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $2x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$. Делим на $2$ и угол, и период:

$$x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n\quad\text{или}\quad x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Пункт б. Отбор корней. Переведём отрезок в двенадцатые доли $\pi$: $\left[\dfrac{9\pi}{2};6\pi\right]=\left[\dfrac{54\pi}{12};\dfrac{72\pi}{12}\right]$.

Серия $x=\dfrac{(1+12n)\pi}{12}$: при $n=4$ — $\dfrac{49\pi}{12}$ (меньше $54$), при $n=5$ — $\dfrac{61\pi}{12}$ (внутри), при $n=6$ — $\dfrac{73\pi}{12}$ (больше $72$).

Серия $x=\dfrac{(5+12n)\pi}{12}$: при $n=4$ — $\dfrac{53\pi}{12}$ (меньше $54$), при $n=5$ — $\dfrac{65\pi}{12}$ (внутри), при $n=6$ — $\dfrac{77\pi}{12}$ (больше $72$).

Проверка: при $x=\dfrac{61\pi}{12}$ имеем $2x=\dfrac{61\pi}{6}=10\pi+\dfrac{\pi}{6}$, $\sin2x=\dfrac12$, $\sin x\cos x=\dfrac14$, $16^{1/4}=2$, $256^{1/4}=4$, и $4-18\cdot2+32=0$ — верно. При $x=\dfrac{65\pi}{12}$: $2x=10\pi+\dfrac{5\pi}{6}$, $\sin 2x=\dfrac12$ — то же самое.