Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00028787

Пункт а. Все три слагаемых — степени двойки, только записаны по-разному. Приведём каждое к виду «двойка в степени $x$», и уравнение станет обычным алгебраическим.

Первое слагаемое: $8^{x}=\left(2^{3}\right)^{x}=\left(2^{x}\right)^{3}$. Второе: $2^{x+1}=2^{x}\cdot 2$, поэтому $9\cdot 2^{x+1}=18\cdot 2^{x}$. Третье: $2^{5-x}=\dfrac{2^{5}}{2^{x}}=\dfrac{32}{2^{x}}$.

Обозначим $t=2^{x}$, помня, что показательная функция положительна, то есть $t\gt 0$. Уравнение принимает вид

$$t^{3}-18t+\dfrac{32}{t}=0.$$

Умножим обе части на $t$ — делать так можно, ведь $t\ne 0$, и посторонних корней это не добавит:

$$t^{4}-18t^{2}+32=0.$$

Это биквадратное уравнение: неизвестное встречается только в чётных степенях. Сделаем ещё одну замену, $u=t^{2}$ (причём $u\gt 0$), и получим $u^{2}-18u+32=0$. Дискриминант: $D=(-18)^{2}-4\cdot 32=324-128=196$, а $\sqrt{196}=14$. Корни: $u_{1}=\dfrac{18+14}{2}=16$ и $u_{2}=\dfrac{18-14}{2}=2$.

Возвращаемся к $t$. Из $t^{2}=16$ и условия $t\gt 0$ следует $t=4$. Из $t^{2}=2$ и того же условия следует $t=\sqrt{2}$.

Теперь к $x$. Из $2^{x}=4=2^{2}$ получаем $x=2$. Из $2^{x}=\sqrt{2}=2^{1/2}$ получаем $x=\dfrac{1}{2}$.

Пункт б. Отбор корней. Нужно понять, какие из двух найденных чисел лежат на отрезке $\left[\log_{5}2;\log_{5}20\right]$. Логарифмы «на глаз» не сравнивают, поэтому сравнение проводим через степени пятёрки: неравенство $\log_{5}A\lt c$ равносильно $A\lt 5^{c}$, потому что логарифм по основанию $5\gt 1$ возрастает.

Проверяем $x=\dfrac12$. Левый конец: $\log_{5}2\leqslant \dfrac12$ равносильно $2\leqslant 5^{1/2}=\sqrt{5}$, а $\sqrt{5}\approx 2{,}24$ — верно. Правый конец: $\dfrac12\leqslant \log_{5}20$ равносильно $\sqrt{5}\leqslant 20$ — тоже верно. Значит, $x=\dfrac12$ попадает на отрезок.

Проверяем $x=2$. Нужно, чтобы $2\leqslant \log_{5}20$, а это равносильно $5^{2}\leqslant 20$, то есть $25\leqslant 20$ — неверно. Значит, число $2$ лежит правее отрезка и не подходит.