Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 8 в степени x минус 9 умножить на 2 в…

Пункт а. Все три слагаемых — степени двойки, только записаны по-разному. Приведём каждое к виду «двойка в степени x», и уравнение станет обычным алгебраическим.

Первое слагаемое: 8^{x}=\left(2^{3}\right)^{x}=\left(2^{x}\right)^{3}. Второе: 2^{x+1}=2^{x}\cdot 2, поэтому 9\cdot 2^{x+1}=18\cdot 2^{x}. Третье: 2^{5-x}=\dfrac{2^{5}}{2^{x}}=\dfrac{32}{2^{x}}.

Обозначим t=2^{x}, помня, что показательная функция положительна, то есть t\gt 0. Уравнение принимает вид

t^{3}-18t+\dfrac{32}{t}=0.

Умножим обе части на t — делать так можно, ведь t\ne 0, и посторонних корней это не добавит:

t^{4}-18t^{2}+32=0.

Это биквадратное уравнение: неизвестное встречается только в чётных степенях. Сделаем ещё одну замену, u=t^{2} (причём u\gt 0), и получим u^{2}-18u+32=0. Дискриминант: D=(-18)^{2}-4\cdot 32=324-128=196, а \sqrt{196}=14. Корни: u_{1}=\dfrac{18+14}{2}=16 и u_{2}=\dfrac{18-14}{2}=2.

Возвращаемся к t. Из t^{2}=16 и условия t\gt 0 следует t=4. Из t^{2}=2 и того же условия следует t=\sqrt{2}.

Теперь к x. Из 2^{x}=4=2^{2} получаем x=2. Из 2^{x}=\sqrt{2}=2^{1/2} получаем x=\dfrac{1}{2}.

Пункт б. Отбор корней. Нужно понять, какие из двух найденных чисел лежат на отрезке \left[\log_{5}2;\log_{5}20\right]. Логарифмы «на глаз» не сравнивают, поэтому сравнение проводим через степени пятёрки: неравенство \log_{5}A\lt c равносильно A\lt 5^{c}, потому что логарифм по основанию 5\gt 1 возрастает.

Проверяем x=\dfrac12. Левый конец: \log_{5}2\leqslant \dfrac12 равносильно 2\leqslant 5^{1/2}=\sqrt{5}, а \sqrt{5}\approx 2{,}24 — верно. Правый конец: \dfrac12\leqslant \log_{5}20 равносильно \sqrt{5}\leqslant 20 — тоже верно. Значит, x=\dfrac12 попадает на отрезок.

Проверяем x=2. Нужно, чтобы 2\leqslant \log_{5}20, а это равносильно 5^{2}\leqslant 20, то есть 25\leqslant 20 — неверно. Значит, число 2 лежит правее отрезка и не подходит.