Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043680

Здесь три степени с разными основаниями: $6$, $25$ и $30$. Сначала уберём «хвосты» в показателях, а потом заметим, как основания связаны между собой.

Пункт а. Каждую степень запишем как «число × степень с показателем $x$». Степень с разностью в показателе — это частное степеней:

$$6^{2x-1}=\dfrac{6^{2x}}{6}=\dfrac{36^{x}}{6},\qquad 2\cdot25^{x-0{,}5}=\dfrac{2\cdot25^{x}}{25^{0{,}5}}=\dfrac{2\cdot25^{x}}{5},\qquad 16\cdot30^{x-1}=\dfrac{16\cdot30^{x}}{30}.$$

Умножим обе части на $30$, чтобы убрать знаменатели: $\dfrac{30}{6}=5$, $\dfrac{30\cdot2}{5}=12$, $\dfrac{30\cdot16}{30}=16$:

$$5\cdot36^{x}+12\cdot25^{x}=16\cdot30^{x}.$$

Теперь присмотримся к основаниям: $36=6^{2}$, $25=5^{2}$, а $30=6\cdot5$. Такое уравнение называют однородным. Разделим обе части на $25^{x}$ — это число положительно при любом $x$, так что корни не теряются и не появляются:

$$5\cdot\left(\dfrac{36}{25}\right)^{x}+12=16\cdot\left(\dfrac{30}{25}\right)^{x}\quad\Leftrightarrow\quad 5\cdot\left(\dfrac65\right)^{2x}-16\cdot\left(\dfrac65\right)^{x}+12=0.$$

Обозначим $u=\left(\dfrac65\right)^{x}$, $u\gt 0$. Получаем $5u^{2}-16u+12=0$. Дискриминант $D=256-4\cdot5\cdot12=256-240=16$, корни

$$u_1=\dfrac{16+4}{10}=2,\qquad u_2=\dfrac{16-4}{10}=1{,}2.$$

Оба положительны. Если $\left(\dfrac65\right)^{x}=1{,}2=\dfrac65$, то $x=1$. Если $\left(\dfrac65\right)^{x}=2$, то $x=\log_{1{,}2}2$.

Пункт б. Отрезок $[0{,}5;\,4]$. Корень $x=1$ в нём лежит.

Корень $\log_{1{,}2}2$ сравним с концами через степени. Основание $1{,}2$ больше единицы, поэтому функция $1{,}2^{x}$ возрастает и неравенства между показателями равносильны таким же неравенствам между степенями.

Правый конец: $1{,}2^{4}=\left(1{,}2^{2}\right)^{2}=1{,}44^{2}=2{,}0736$. Так как $2\lt 2{,}0736=1{,}2^{4}$, получаем $\log_{1{,}2}2\lt 4$.

Левый конец: $1{,}2^{0{,}5}\lt 1{,}2^{1}=1{,}2\lt 2$, поэтому $\log_{1{,}2}2\gt 0{,}5$. Значит, этот корень тоже в отрезке.

Проверим $x=1$ подстановкой: слева $6^{1}+2\cdot25^{0{,}5}=6+2\cdot5=16$, справа $16\cdot30^{0}=16$. Верно.