Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение 27 в степени x минус 28 умножить на 3 в…

В уравнении три показательных слагаемых, и основания у них разные на вид: 27, 3 и снова 3. Но 27 — это 3^{3}, поэтому всё сводится к одной величине 3^{x}. Значит уместна замена.

Ограничений на x нет: показательные выражения определены при любом x, так что область допустимых значений — вся числовая прямая.

Перепишем каждое слагаемое через 3^{x}. Во-первых, 27^{x}=(3^{3})^{x}=(3^{x})^{3}. Во-вторых, 3^{x+1}=3^{x}\cdot 3, поэтому 28\cdot 3^{x+1}=84\cdot 3^{x}. В-третьих, 3^{5-x}=\dfrac{3^{5}}{3^{x}}=\dfrac{243}{3^{x}}.

Обозначим u=3^{x}. Показательная функция положительна, поэтому u\gt 0 — важное ограничение. Уравнение принимает вид

u^{3}-84u+\dfrac{243}{u}=0.

Умножим обе части на u. Это законно, ведь u\gt 0, то есть на ноль мы не умножаем и корней не приобретаем:

u^{4}-84u^{2}+243=0.

Получилось биквадратное уравнение — в нём переменная встречается только в чётных степенях. Делаем вторую замену: v=u^{2}, причём v\gt 0. Тогда v^{2}-84v+243=0.

Считаем дискриминант: D=(-84)^{2}-4\cdot 1\cdot 243=7056-972=6084. Извлекаем корень: 78^{2}=6084, значит \sqrt{D}=78.

Корни: v_{1}=\dfrac{84+78}{2}=\dfrac{162}{2}=81 и v_{2}=\dfrac{84-78}{2}=\dfrac{6}{2}=3. Оба положительны, оба годятся.

Возвращаемся к u. Из u^{2}=81 и условия u\gt 0 получаем u=9. Из u^{2}=3 и того же условия получаем u=\sqrt{3}. Отрицательные корни -9 и -\sqrt{3} отбрасываем: 3^{x} отрицательным быть не может.

Теперь возвращаемся к x. Первый случай: 3^{x}=9=3^{2}, значит x=2. Второй случай: 3^{x}=\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}, значит x=\dfrac{1}{2}. Здесь мы пользуемся тем, что у равных степеней с одинаковым основанием равны и показатели.

Переходим к пункту б: нужно выбрать корни, попавшие на отрезок \left[\sqrt{3};\log_{2}5\right]. Границы заданы не числами, а выражениями, поэтому прикинем их значения.

Левый конец: \sqrt{3}\approx 1{,}73, потому что 1{,}7^{2}=2{,}89, а 1{,}8^{2}=3{,}24 — тройка между ними.

Правый конец: \log_{2}5 — это показатель, в который надо возвести двойку, чтобы получить 5. Так как 2^{2}=4\lt 5\lt 8=2^{3}, число \log_{2}5 лежит между 2 и 3, причём ближе к двум: \log_{2}5\approx 2{,}32.

Теперь проверяем корни. Корень x=\dfrac{1}{2}=0{,}5 меньше 1{,}73 — он левее отрезка, не подходит.

Корень x=2: сравним его с концами строго. Слева нужно 2\geqslant \sqrt{3}, а это верно, ведь 2=\sqrt{4} и \sqrt{4}\gt \sqrt{3}. Справа нужно 2\leqslant \log_{2}5, а это тоже верно, ведь 2=\log_{2}4 и \log_{2}4\lt \log_{2}5 (логарифм по основанию 2 возрастает). Значит x=2 лежит на отрезке.

Итог отбора: из двух найденных корней на отрезок попадает только один — x=2.