Показательны… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028770

В уравнении три показательных слагаемых, и основания у них разные на вид: $27$, $3$ и снова $3$. Но $27$ — это $3^{3}$, поэтому всё сводится к одной величине $3^{x}$. Значит уместна замена.

Ограничений на $x$ нет: показательные выражения определены при любом $x$, так что область допустимых значений — вся числовая прямая.

Перепишем каждое слагаемое через $3^{x}$. Во-первых, $27^{x}=(3^{3})^{x}=(3^{x})^{3}$. Во-вторых, $3^{x+1}=3^{x}\cdot 3$, поэтому $28\cdot 3^{x+1}=84\cdot 3^{x}$. В-третьих, $3^{5-x}=\dfrac{3^{5}}{3^{x}}=\dfrac{243}{3^{x}}$.

Обозначим $u=3^{x}$. Показательная функция положительна, поэтому $u\gt 0$ — важное ограничение. Уравнение принимает вид

$$u^{3}-84u+\dfrac{243}{u}=0.$$

Умножим обе части на $u$. Это законно, ведь $u\gt 0$, то есть на ноль мы не умножаем и корней не приобретаем:

$$u^{4}-84u^{2}+243=0.$$

Получилось биквадратное уравнение — в нём переменная встречается только в чётных степенях. Делаем вторую замену: $v=u^{2}$, причём $v\gt 0$. Тогда $v^{2}-84v+243=0$.

Считаем дискриминант: $D=(-84)^{2}-4\cdot 1\cdot 243=7056-972=6084$. Извлекаем корень: $78^{2}=6084$, значит $\sqrt{D}=78$.

Корни: $v_{1}=\dfrac{84+78}{2}=\dfrac{162}{2}=81$ и $v_{2}=\dfrac{84-78}{2}=\dfrac{6}{2}=3$. Оба положительны, оба годятся.

Возвращаемся к $u$. Из $u^{2}=81$ и условия $u\gt 0$ получаем $u=9$. Из $u^{2}=3$ и того же условия получаем $u=\sqrt{3}$. Отрицательные корни $-9$ и $-\sqrt{3}$ отбрасываем: $3^{x}$ отрицательным быть не может.

Теперь возвращаемся к $x$. Первый случай: $3^{x}=9=3^{2}$, значит $x=2$. Второй случай: $3^{x}=\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$, значит $x=\dfrac{1}{2}$. Здесь мы пользуемся тем, что у равных степеней с одинаковым основанием равны и показатели.

Переходим к пункту б: нужно выбрать корни, попавшие на отрезок $\left[\sqrt{3};\log_{2}5\right]$. Границы заданы не числами, а выражениями, поэтому прикинем их значения.

Левый конец: $\sqrt{3}\approx 1{,}73$, потому что $1{,}7^{2}=2{,}89$, а $1{,}8^{2}=3{,}24$ — тройка между ними.

Правый конец: $\log_{2}5$ — это показатель, в который надо возвести двойку, чтобы получить $5$. Так как $2^{2}=4\lt 5\lt 8=2^{3}$, число $\log_{2}5$ лежит между $2$ и $3$, причём ближе к двум: $\log_{2}5\approx 2{,}32$.

Теперь проверяем корни. Корень $x=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ меньше $1{,}73$ — он левее отрезка, не подходит.

Корень $x=2$: сравним его с концами строго. Слева нужно $2\geqslant \sqrt{3}$, а это верно, ведь $2=\sqrt{4}$ и $\sqrt{4}\gt \sqrt{3}$. Справа нужно $2\leqslant \log_{2}5$, а это тоже верно, ведь $2=\log_{2}4$ и $\log_{2}4\lt \log_{2}5$ (логарифм по основанию $2$ возрастает). Значит $x=2$ лежит на отрезке.

Итог отбора: из двух найденных корней на отрезок попадает только один — $x=2$.