Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043681

Перед нами степени с основаниями $25$, $2$ и $20$. Если записать $2^{4x}=16^{x}$, станет видно, что основания $25$, $16$ и $20$ связаны: $20^{2}=400=25\cdot16$. Это и подскажет замену.

Пункт а. Уберём сдвиги в показателях:

$$25^{x+0{,}5}=25^{0{,}5}\cdot25^{x}=5\cdot25^{x},\qquad 1{,}2\cdot2^{4x+1}=1{,}2\cdot2\cdot16^{x}=2{,}4\cdot16^{x},\qquad 140\cdot20^{x-1}=\dfrac{140}{20}\cdot20^{x}=7\cdot20^{x}.$$

Уравнение: $5\cdot25^{x}+2{,}4\cdot16^{x}=7\cdot20^{x}$. Умножим на $5$, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$$25\cdot25^{x}+12\cdot16^{x}=35\cdot20^{x}.$$

Разделим обе части на $16^{x}$ (оно положительно при любом $x$) и учтём, что $\dfrac{25}{16}=\left(\dfrac54\right)^{2}$, $\dfrac{20}{16}=\dfrac54$. Обозначим $v=\left(\dfrac54\right)^{x}$, $v\gt 0$:

$$25v^{2}-35v+12=0.$$

Дискриминант: $D=35^{2}-4\cdot25\cdot12=1225-1200=25$. Корни:

$$v_1=\dfrac{35+5}{50}=0{,}8,\qquad v_2=\dfrac{35-5}{50}=0{,}6.$$

Оба положительны. $\left(\dfrac54\right)^{x}=0{,}8=\dfrac45=\left(\dfrac54\right)^{-1}$, отсюда $x=-1$. $\left(\dfrac54\right)^{x}=0{,}6$, отсюда $x=\log_{1{,}25}0{,}6$.

Можно сверить вторым способом: если делить не на $16^{x}$, а на $25^{x}$, переменная будет $w=\left(\dfrac45\right)^{x}$, уравнение $12w^{2}-35w+25=0$ и корни $w=\dfrac54$, $w=\dfrac53$ — обратные к найденным. Те же $x$.

Пункт б. Отрезок $[-2{,}5;\,-0{,}5]$. Корень $-1$ в нём лежит.

Второй корень сравним с первым. Функция $\left(\dfrac54\right)^{x}$ возрастает (основание больше $1$), а $0{,}6\lt 0{,}8$. Значит, $\log_{1{,}25}0{,}6\lt -1\lt -0{,}5$ — правый конец не мешает.

Левый конец: нужно $\log_{1{,}25}0{,}6\geqslant -2{,}5$, то есть $0{,}6\geqslant\left(\dfrac54\right)^{-2{,}5}=\left(\dfrac45\right)^{2{,}5}$. Оба числа положительны, поэтому их можно возвести в квадрат: $0{,}6^{2}=0{,}36$ и $\left(\dfrac45\right)^{5}=\dfrac{1024}{3125}=0{,}32768$. Так как $0{,}36\gt 0{,}32768$, неравенство верно, и корень лежит в отрезке.

Проверим $x=-1$: слева $25^{-0{,}5}+1{,}2\cdot2^{-3}=\dfrac15+\dfrac{1{,}2}{8}=0{,}2+0{,}15=0{,}35$, справа $140\cdot20^{-2}=\dfrac{140}{400}=0{,}35$. Верно.