а) Логарифм по основанию 9 равен x — по определению логарифма это значит, что аргумент равен 9^x: 3^{2x}+5\sqrt{2}\sin x-6\cos^2 x-2=9^x. Заметь: требование «аргумент положителен» выполняется автоматически, ведь он равен 9^x, а показательная функция всегда положительна — лишних ограничений не появляется.

Теперь ключевое наблюдение: 9^x=\left(3^2\right)^x=3^{2x} — ровно такое же слагаемое стоит слева! Сокращаем его с обеих сторон, и от страшного уравнения остаётся чистая тригонометрия: 5\sqrt{2}\sin x-6\cos^2 x-2=0.

Приводим всё к синусу через \cos^2 x=1-\sin^2 x: 5\sqrt{2}\sin x-6+6\sin^2 x-2=0, то есть 6\sin^2 x+5\sqrt{2}\sin x-8=0.

Замена s=\sin x (не забываем: -1\le s\le 1): 6s^2+5\sqrt{2}s-8=0. Дискриминант: D=\left(5\sqrt{2}\right)^2+4\cdot 6\cdot 8=50+192=242, а \sqrt{242}=\sqrt{121\cdot 2}=11\sqrt{2} — красиво! Корни: s=\dfrac{-5\sqrt{2}+11\sqrt{2}}{12}=\dfrac{6\sqrt{2}}{12}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} и s=\dfrac{-5\sqrt{2}-11\sqrt{2}}{12}=-\dfrac{16\sqrt{2}}{12}=-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\approx-1{,}9 — второй корень за пределами отрезка [-1;1], выбрасываем.

Остаётся \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}: две серии x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n и x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Проверим подстановкой: при \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} имеем 5\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=5 и \cos^2 x=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}, так что 5-6\cdot\dfrac{1}{2}-2=5-3-2=0 — аргумент логарифма равен 3^{2x}=9^x, и \log_9 9^x=x. Всё сходится.

б) Отрезок \left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right] в четвертях: \left[-\dfrac{8\pi}{4};\ -\dfrac{2\pi}{4}\right].

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: при n=-1 получаем \dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{4} — внутри; при n=0 выходит \dfrac{\pi}{4}>0 — мимо, при n=-2 — левее левого конца.

Серия x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n: при n=-1 получаем \dfrac{3\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{4} — внутри; соседние n выводят за отрезок.

Итого два корня: -\dfrac{7\pi}{4} и -\dfrac{5\pi}{4}. Оба между -\dfrac{8\pi}{4} и -\dfrac{2\pi}{4} — всё сходится.