Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00022252

а) Логарифм по основанию $9$ равен $x$ — по определению логарифма это значит, что аргумент равен $9^x$: $3^{2x}+5\sqrt{2}\sin x-6\cos^2 x-2=9^x$. Заметь: требование «аргумент положителен» выполняется автоматически, ведь он равен $9^x$, а показательная функция всегда положительна — лишних ограничений не появляется.

Теперь ключевое наблюдение: $9^x=\left(3^2\right)^x=3^{2x}$ — ровно такое же слагаемое стоит слева! Сокращаем его с обеих сторон, и от страшного уравнения остаётся чистая тригонометрия: $5\sqrt{2}\sin x-6\cos^2 x-2=0$.

Приводим всё к синусу через $\cos^2 x=1-\sin^2 x$: $5\sqrt{2}\sin x-6+6\sin^2 x-2=0$, то есть $6\sin^2 x+5\sqrt{2}\sin x-8=0$.

Замена $s=\sin x$ (не забываем: $-1\le s\le 1$): $6s^2+5\sqrt{2}s-8=0$. Дискриминант: $D=\left(5\sqrt{2}\right)^2+4\cdot 6\cdot 8=50+192=242$, а $\sqrt{242}=\sqrt{121\cdot 2}=11\sqrt{2}$ — красиво! Корни: $s=\dfrac{-5\sqrt{2}+11\sqrt{2}}{12}=\dfrac{6\sqrt{2}}{12}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и $s=\dfrac{-5\sqrt{2}-11\sqrt{2}}{12}=-\dfrac{16\sqrt{2}}{12}=-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\approx-1{,}9$ — второй корень за пределами отрезка $[-1;1]$, выбрасываем.

Остаётся $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$: две серии $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Проверим подстановкой: при $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ имеем $5\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=5$ и $\cos^2 x=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$, так что $5-6\cdot\dfrac{1}{2}-2=5-3-2=0$ — аргумент логарифма равен $3^{2x}=9^x$, и $\log_9 9^x=x$. Всё сходится.

б) Отрезок $\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]$ в четвертях: $\left[-\dfrac{8\pi}{4};\ -\dfrac{2\pi}{4}\right]$.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: при $n=-1$ получаем $\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{4}$ — внутри; при $n=0$ выходит $\dfrac{\pi}{4}>0$ — мимо, при $n=-2$ — левее левого конца.

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$: при $n=-1$ получаем $\dfrac{3\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{4}$ — внутри; соседние $n$ выводят за отрезок.

Итого два корня: $-\dfrac{7\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}$. Оба между $-\dfrac{8\pi}{4}$ и $-\dfrac{2\pi}{4}$ — всё сходится.